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Gewöhnliche DGL » DGLen 1. Ordnung » Lösung von x'=1+x⁴ und Satz von Peano
Autor
Universität/Hochschule Lösung von x'=1+x⁴ und Satz von Peano
Simon_Lars
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Mitteilungen: 1
  Themenstart: 2022-09-19

Ich habe eine Aufgabe aus meinem Studium im Modul gewöhnliche Differentialgleichungen. Die Aufgabe lautet: Zeigen Sie, dass es keine Funktion \(x\in C^{1}(\mathbb{R} ,\mathbb{R} )\) mit \(x^{\prime }=1+x^{4}\) geben kann. Vergleichen Sie hierzu Lösungen von dieser Differenzialgleichung mit Lösungen der Differentialgleichung \(u^{\prime }=1+u^{2}\) In der Vorlesung hatten wir nun den Satz von Peano in folgender Form: Seien \(I\subseteq \mathbb{R} \) ein Intervall, \(D\subseteq I\times \mathbb{R}^{d} \) offen und \(D\subseteq I\times \mathbb{R}^{d} f:D\rightarrow \mathbb{R}^{d} \) eine stetige Funktion. Dann hat für jedes \(\left( t_{0},y_{0}\right) \in D\) das Anfangswertproblem \[\begin{cases}y^{\prime }(t)=f(t,y(t))&t\in I\\ y(t_{0})=y_{0}&\end{cases} \] mindestens eine Lösung. Meine Frage: Ich hätte gedacht, dass ich für den Definitionsbereich \(D\) einfach \(\mathbb{R^2}\) nehmen kann und weil \(1+x^{4}\) stetig ist dann mit dem Satz von Peano erhalte, dass es mindestens eine Lösung der DGL gibt. Wo ist mein Denkfehler?

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sonnenschein96
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Mitteilungen: 705
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-09-19

Hallo Simon_Lars, der Satz von Peano garantiert Dir nur eine Lösung in einer Umgebung von \(t_0\), also eine lokale Lösung. Was Du zeigen sollst ist, dass es keine globale (auf ganz \(\mathbb{R}\) definierte) Lösung geben kann.

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wladimir_1989
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-09-19

Hallo Simon_Lars und willkommen auf dem Matheplaneten, ich denke, der Punkt ist hier, dass es keine stetig diffbare Lösung auf ganz \(\mathbb{R}\) geben darf. Der Satz von Peano garantiert ja nur, dass es eine offene Umgebung um \((t_0,y_0)\) gibt, auf der eine Lösung existiert. Das ist ja bei \(\tan(x)\) als Lösung von \(u'=1+u^2\) ja auch so. lg Wladimir [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

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Simon_Lars hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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