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Strukturen und Algebra » Ringe » Konstruktion der ganzen Zahlen
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Universität/Hochschule Konstruktion der ganzen Zahlen
Nutzer0815
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  Themenstart: 2022-09-20

Hallo, Also es lässt sich ja folgender Satz beweisen: Es gibt einen kleinsten kommutativen nullteilerfreien Ring mit Eins, Z, mit Z ⊃ N, der auf N die ursprüngliche Addition und die ursprüngliche Multiplikation induziert. Er ist bis auf Isomorphie eindeutig und wird Ring der ganzen Zahlen genannt. Bei dem Beweis der zwei Eigenschaften, dass er der kleinste Ring ist und dass er bis auf Isomorphie eindeutig ist habe ich so meine Schwierigkeiten. Nimmt man dann einfach einen weiteren Ring R an, welcher ein Modell der natürlichen Zahlen enthält und findet einen Homomorphismus von Z nach R? Reicht das schon aus oder ist das sogar falsch? Danke, für eure Hilfe


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StefanVogel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-09-24

Hallo Nutzer0815, ein einzelner Homomorphismus reicht noch nicht. Wenn, dann müsste er wenigstens bijektiv sein. Besser wäre aber, wenn vor dem Satz definiert ist, was man unter einem "kleinsten" kommutativen nullteilerfreien Ring verstehen soll. Dann braucht man nur die Bedingungen aus der Definition nachzuprüfen. Ich habe schon Beweise gelesen in der Richtung "eine kleinste irgendeiner Menge algebraischer Strukturen ... hat die Eigenschaft, dass für alle anderen Strukturen ... gilt, das es zu jeder Abbildung von ... nach ... eine eindeutig bestimmte Abbildung von ... nach ... gibt, die sich zu einer Abbildung nach ... fortsetzen lässt". Den genauen Worlaut weiß ich jetzt nicht auswändig, doch kann man von so einer Eigenschaft der Abbildungen zeigen, dass die betreffende Struktur in einem gewissen Sinne eine "kleinste" und bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist, unabhängig davon, welche Struktur man konkret betrachtet. Viele Grüße, Stefan


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zippy
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-09-24

\quoteon(2022-09-24 08:53 - StefanVogel in Beitrag No. 1) Wenn, dann müsste er wenigstens bijektiv sein. \quoteoff Nein, er muss lediglich injektiv sein, da $R$ ja nur ein Ring ist, in den sich $\mathbb N$ einbetten lässt, aber kein "kleinster" Ring mit dieser Eigenschaft. Betrachten wir Integritätsringe, in die sich, wie im Themenstart beschrieben, $\mathbb N$ einbetten lässt. Ein kleinster Ring mit dieser Eigenschaft sei ein Ring $S$, der sich in jeden Ring $R$ mit dieser Eigenschaft über einen injektiven Homomorphismus $j\colon S\to R$ einbetten lässt. Dann kann man folgern: 1. $j$ hat die Eigenschaft, die Elemente von $\mathbb N$ in $S$ und $R$ punktweise fest zu lassen. 2. Ist $S$ ein kleinster Ring $S$, in den sich $\mathbb N$ einbetten lässt, und ist $S_0$ der von $\mathbb N$ erzeugte Unterring in $S$, dann fallen $S$ und $S_0$ zusammen, denn es gibt einen injektiven Homomorphismus $j\colon S\to S_0$, der die Elemente von $\mathbb N$ in $S$ und damit auch ganz $S_0$ punktweise fest lässt und damit die Identität sein muss. 3. Sind $S$ und $T$ zwei kleinste Ringe, in die sich $\mathbb N$ einbetten lässt, gibt es injektive Homomorphismen $j\colon S\to T$ und $k\colon T\to S$. Wegen $S=S_0$ ist $kj={\rm id}_S$ und wegen $T=T_0$ ist $jk={\rm id}_T$. Damit sind $j$ und $k$ Isomorphismen. --zippy PS Wie man sieht, benötigt man bei der Definition von $\mathbb Z$ als "kleinster" Ring ein paar Zwischenschritte, um zur Isomorphie zu kommen. Gradliniger wird das bei der Definition als "initialer" Ring.


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Nutzer0815
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-05

Danke euch für die Beiträge. Falls es irgendwen interessiert. Ich arbeite gelegentlich mit den Buch Analysis 1 von Amann und Escher. Dort taucht dieser Satz auf und der Beweis wird nur skizziert und man soll den Beweis selber vervollständigen. Eigentlich wird alles was man verwendet definiert. Nur was soll ein kleinster oder minimaler Ring sein? Das haben die Autoren nirgends definiert, zumindest habe ich nichts gefunden. Dort wird auch gesagt, dass Z ganz offensichtlich minimal ist.


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