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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Sind es Elemente des Körpers?
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Universität/Hochschule Sind es Elemente des Körpers?
nikofld3
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  Themenstart: 2022-09-22

https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55422_asdf.png Soll ich für die Elemente das Inverse angeben? Oder was genau?


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-09-22

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, du sollst die Terme durch Termumformungen auf die Form \(a+b\sqrt{3}\) bringen (mit \(a,b\in\IQ\)). Also bei der ersten Teilaufgabe bspw. die Klammern ausmultiplizieren und die rationalen und die irrationalen Anteile zusammenfassen. Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Ringe' in Forum 'Körper und Galois-Theorie' von Diophant]\(\endgroup\)


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nikofld3
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-23

Danke dir, weißt Du zufällig auch für was die Schreibweise Q[Wurzel(3)] steht? Also das habe ich öfters gehen, auch bei anderen Mengen, aber was genau sagt das aus?


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Kezer
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-09-23

Das wird doch in der ersten Zeile der Aufgabenstellung definiert.


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nikofld3
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-23

\quoteon(2022-09-23 13:31 - Kezer in Beitrag No. 3) Das wird doch in der ersten Zeile der Aufgabenstellung definiert. \quoteoff Ja aber ich meine allgemein, weil sehe das oft im Skript, wo z. B. Q[irgendetwas] steht oder statt Q was anderes, was nicht defineirt ist?


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-09-23

\quoteon(2022-09-23 17:11 - nikofld3 in Beitrag No. 4) Ja aber ich meine allgemein, weil sehe das oft im Skript, wo z. B. Q[irgendetwas] steht oder statt Q was anderes, was nicht defineirt ist? \quoteoff Wikipedia: Adjunktion. Hier im Sinne einer Körpererweiterung des Körpers der rationalen Zahlen. (Die Schreibweise der Klammern, also insbesondere rund oder eckig, wird nicht einheitlich gehandhabt.) EDIT: Doch, sie bedeuten etwas. Siehe dazu Beitrag #7 von Buri. Gruß, Diophant


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nikofld3
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-23

\quoteon(2022-09-23 17:25 - Diophant in Beitrag No. 5) \quoteon(2022-09-23 17:11 - nikofld3 in Beitrag No. 4) Ja aber ich meine allgemein, weil sehe das oft im Skript, wo z. B. Q[irgendetwas] steht oder statt Q was anderes, was nicht defineirt ist? \quoteoff Wikipedia: Adjunktion. Hier im Sinne einer Körpererweiterung des Körpers der rationalen Zahlen. (Die Schreibweise der Klammern, also insbesondere rund oder eckig, wird nicht einheitlich gehandhabt.) Gruß, Diophant \quoteoff Danke, aber verstanden habe ich das ganze nciht wirklich, wenn ich habe z. B. Z[sqrt(3)], so steht in Wikipedia auch, dass die Elemente nun (a,bsqrt(3)) seien, aber warum? Also was ist das für eine Menge?


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Buri
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-09-23

\quoteon(2022-09-23 17:25 - Diophant in Beitrag No. 5) (Die Schreibweise der Klammern, also insbesondere rund oder eckig, wird nicht einheitlich gehandhabt.) \quoteoff Hi nikofld3 & Diophant, der Unterschied zwischen eckigen und runden Klammern ist schon eindeutig festgelegt. Eckige Klammern bedeuten Ringadjunktion, also Hinzufügung von Polynomen, und runde Klammern bedeuten Körperadjunktion, also Hinzufügung rationaler Funktionen. Gruß Buri


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philippw
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-09-23

\quoteon(2022-09-23 17:47 - nikofld3 in Beitrag No. 6) Danke, aber verstanden habe ich das ganze nciht wirklich, wenn ich habe z. B. Z[sqrt(3)], so steht in Wikipedia auch, dass die Elemente nun (a,bsqrt(3)) seien, aber warum? Also was ist das für eine Menge? \quoteoff Kennst du die Schreibweise Z[x]? Das sind alle Polynome über x mit Zahlen aus Z als Koeffizienten. Und Z[sqrt(3)] sind anschaulich alle Werte dieser Polynome, nachdem man sqrt(3) für x eingesetzt hat. Formal macht man das über Quotienten, Z[sqrt(3)]=Z[x]/(x^2-3), da x^2-3=0 die "Definition" von sqrt(3) ist.


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
ligning
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  Beitrag No.16, eingetragen 2022-09-30

\quoteon(2022-09-23 18:15 - Buri in Beitrag No. 7) \quoteon(2022-09-23 17:25 - Diophant in Beitrag No. 5) (Die Schreibweise der Klammern, also insbesondere rund oder eckig, wird nicht einheitlich gehandhabt.) \quoteoff Hi nikofld3 & Diophant, der Unterschied zwischen eckigen und runden Klammern ist schon eindeutig festgelegt. Eckige Klammern bedeuten Ringadjunktion, also Hinzufügung von Polynomen, und runde Klammern bedeuten Körperadjunktion, also Hinzufügung rationaler Funktionen. Gruß Buri \quoteoff Auch @Diophant und @nikofld3: Was Buri sagt, aber im Falle algebraischer Elemente fällt die Bedeutung zusammen, genauer gesagt, falls $\alpha$ ein algebraisches Element über $K$ ist, dann ist $K[\alpha]$ bereits ein Körper, also identisch mit $K(\alpha)$. Da diese Schreibweisen oft schon gebraucht werden, bevor ausreichend Körpertheorie eingeführt wurde, kann das verwirrend sein.


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zippy
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  Beitrag No.17, eingetragen 2022-09-30

Und was in der Aufgabe gefragt ist, kann man als Nachrechnen von $\mathbb Q(\sqrt3)=\mathbb Q[\sqrt3]$ anhand von Beispielen verstehen: Die angegebenen Elemente sind offensichtlich $\in\mathbb Q(\sqrt3)$ und man soll sie so umschreiben, dass man erkennen kann, dass sie auch $\in\mathbb Q[\sqrt3]$ sind.


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