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Ingenieurwesen » Elektrotechnik » Spannungsabfall Lokomotive
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Universität/Hochschule Spannungsabfall Lokomotive
thomas_zenk
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  Themenstart: 2022-09-23

\(\textbf{Aufgabe ist aus dem Buch "Elektrizität & Magnetismus" [Roth, Stahl]:}\) Eine Elektrolokomotive wird über eine Oberleitung mit einem aus Kupfer bestehenden Fahrdraht des Querschnitts \( 200 \, \mathrm{mm^2} \) versorgt. Dabei wird alle \(20 \, \mathrm{km}\) die Versorgungsspannung von \(15 \, \mathrm{kV}\) eingespeist. Die Lokomotive bezieht konstant einen Strom von \(280 \, \mathrm{A}\) aus dem Fahrdraht. Wie groß ist der durch den endlichen Widerstand des Fahrdrahts verursachte Spannungsabfall maximal? Welche elektrische Leistung geht dann im Fahrdraht verloren? \(\textbf{Mein Lösungsansatz:}\) Die Aufgabe hört sich ja relativ harmlos an, dennoch komme ich nicht auf die Musterlösung. Zunächst ist ja der maximale Widerstand des Fahrdrahts gegeben durch \[ R = \frac{\rho_{el} \cdot l}{A} = \frac{0{,}017 \, \mathrm{\Omega \, mm^2 / m} \cdot 20\,000 \, \mathrm{m}}{100 \, \mathrm{mm^2}} = 3{,}4 \, \mathrm{\Omega} \] In der Lösung finde ich \(R = 0{,}85 \, \mathrm{\Omega}\), also genau ein Viertel von meinem Ergebnis. Wenn ich jetzt mit der Musterlösung weiterrechne, erhalte ich \(\textit{in etwa}\) die richtigen Werte: Spannungsabfall: \(U = RI = 0{,}85 \, \mathrm{\Omega} \cdot 280 \, \mathrm{A} \approx 0{,}238 \, \mathrm{kV}\) (vgl. Musterlösung: \(0{,}2 \, \mathrm{kV}\)) Leistung: \(P = UI = 238 \, \mathrm{V} \cdot 280 \, \mathrm{A} \approx 0{,}0667 \, \mathrm{MV}\) (vgl. Musterlösung: \(0{,}07 \, \mathrm{MV}\)) Ich komme leider nicht auf meinen Fehler. 😖


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rlk
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-09-23

Hallo Thomas, Du hast nicht berücksichtigt, dass die Lokomotive von zwei Seiten versorgt wird. Servus, Roland


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cramilu
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-09-24

Hallo thomas-zenk, rlk hat einen wichtigen Tipp schon gegeben: Der maximale Spannungsabfall ergibt sich dort, wo sich der aktive Stromabnehmer der Lok recht genau in der Mitte zwischen zwei Einspeisungs- stellen befindet. Bis zu einem solchen Punkt beträgt die Fahrdrahtlänge ab nächstgelegener Einspeisung lediglich 10 km ! Außerdem hast Du hinsichtlich der Angaben bloß mit dem halben Leitungsquerschnitt gerechnet. p.s. Wie wird das denn bei Euch mit "gültigen Ziffern" gehandhabt? Gemäß Angaben sollten es hier drei sein. [?] Da wundere ich mich dann auf jeden Fall über die großzügigen Rundungen in der Musterlösung und frage mich, ob ein Zahlenwert von z.B. 0,0173 für den spezifischer Widerstand von der Genauigkeit her auch zur Verwendung gestattet wäre... Oder die besagten Rundungen sollen genau 'abfedern', dass Zahlenwerte zwischen 0,0169 und 0,0175 denkbar sind.


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-09-24

\quoteon(2022-09-24 03:16 - cramilu in Beitrag No. 2) Da wundere ich mich dann auf jeden Fall über die großzügigen Rundungen in der Musterlösung \quoteoff Allein schon die Tatsache, dass die Temperatur nicht festgelegt ist, sorgt für eine Unsicherheit der Ergebnisse in einer Größenordnung von $5\,\%$. --zippy


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thomas_zenk
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-24

\quoteon(2022-09-23 23:39 - rlk in Beitrag No. 1) Hallo Thomas, Du hast nicht berücksichtigt, dass die Lokomotive von zwei Seiten versorgt wird. Servus, Roland \quoteoff Hallo Roland, kann man sich die Situation als Schaltbild so vorstellen? https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55579_1_oWeE.png wobei \[ \begin{align*} & R_1 = \frac{\rho_{el} \cdot x}{A} \\ & R_2 = \frac{\rho_{el} \cdot (20-x)}{A} \end{align*}\]


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rlk
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-09-24

Hallo Thomas, ja, das Schaltbild beschreibt die Situation richtig, nur sollte die Lokomotive wegen des als konstant angenommenen Stroms durch eine Stromquelle statt eines Widerstands modelliert werden. Servus, Roland


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thomas_zenk
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-24

\quoteon(2022-09-24 18:54 - rlk in Beitrag No. 5) Hallo Thomas, ja, das Schaltbild beschreibt die Situation richtig, nur sollte die Lokomotive wegen des als konstant angenommenen Stroms durch eine Stromquelle statt eines Widerstands modelliert werden. Servus, Roland \quoteoff Ok, ich wollte das Ganze jetzt über die Kirchhoff'schen Regeln betrachten. Folgendes erhalte ich, wenn ich die Lok als ideale Stromquelle interpretiere: \[ \begin{align*} & I_1 + I_2 = 280 \, \mathrm{A} \tag{1} \\ & R_1 I_1 = 15 \, \mathrm{kV} \tag{2} \\ & R_2 I_2 = 15 \, \mathrm{kV} \tag{3} \end{align*}\] Also 4 Unbekannte und 3 Gleichungen. Indem ich die Ausdrücke für \(R_1\) und \(R_2\) von oben einsetze (in Abhängigkeit von \(x\)), wird das System lösbar, aber eigentlich erwarte ich doch, dass ich die Bedingung des maximalen Spannungsabfall nutzen sollte? Wenn ich das jetzt den Computer lösen lasse, erhalte ich außerdem komplexe Werte für \(x\), also scheint etwas mit meiner Interpretation nicht zu stimmen.


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zippy
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-09-24

\quoteon(2022-09-24 22:50 - thomas_zenk in Beitrag No. 6) $ R_1 I_1 = 15 \, \mathrm{kV}$ $ R_2 I_2 = 15 \, \mathrm{kV}$ \quoteoff Wie kommst du auf diese beiden Gleichungen? Die Spannung am Stromabnehmer der Lokomotive ist doch nicht $0$. Du hast aber die Gleichung $R_1I_1 = R_2I_2$.


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thomas_zenk
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-24

\quoteon(2022-09-24 23:00 - zippy in Beitrag No. 7) \quoteon(2022-09-24 22:50 - thomas_zenk in Beitrag No. 6) $ R_1 I_1 = 15 \, \mathrm{kV}$ $ R_2 I_2 = 15 \, \mathrm{kV}$ \quoteoff Wie kommst du auf diese beiden Gleichungen? Die Spannung am Stromabnehmer der Lokomotive ist doch nicht $0$. Du hast aber die Gleichung $R_1I_1 = R_2I_2$. \quoteoff Ich nehme an, es sollte stattdessen lauten: \[ \begin{align*} & I_1 + I_2 = 280 \, \mathrm{A} \tag{1} \\ & R_1 I_1 + U_\mathrm{Lok} = 15 \, \mathrm{kV} \tag{2} \\ & R_2 I_2 + U_\mathrm{Lok} = 15 \, \mathrm{kV} \tag{3} \end{align*}\] Die Gleichungen erhalte ich durch Anwendung der Maschenregel auf die linke und rechte Teilmasche. \quoteon(2022-09-24 23:00 - zippy in Beitrag No. 7) Du hast aber die Gleichung $R_1I_1 = R_2I_2$. \quoteoff Also ist der Spannungsabfall über den linken und rechten Teil des Fahrdrahtes gleich. Aber inwiefern hilft mir das? Bezieht sich die Aufgabe jetzt nur auf den Spannungsabfall über einen Teil des Drahtes (z.B. der linke) oder geht es um die Summe, d.h. \(2 R_1 I_1\)?


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zippy
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-09-24

\quoteon(2022-09-24 23:23 - thomas_zenk in Beitrag No. 8) Aber inwiefern hilft mir das? \quoteoff Da du bei gegebenem $x$ die Widerstände $R_1$ und $R_2$ unmittelbar ausrechnen kannst, hast du die zwei Unbekannten $I_1$ und $I_2$. Also benötigst du zwei Gleichungen, um diese Unbekannten zu berechnen. Und das sind $I_1+I_2=280\,\rm A$ und eben $R_1I_1=R_2I_2$.


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thomas_zenk
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\quoteon(2022-09-24 23:52 - zippy in Beitrag No. 9) \quoteon(2022-09-24 23:23 - thomas_zenk in Beitrag No. 8) Aber inwiefern hilft mir das? \quoteoff Da du bei gegebenem $x$ die Widerstände $R_1$ und $R_2$ unmittelbar ausrechnen kannst, hast du die zwei Unbekannten $I_1$ und $I_2$. Also benötigst du zwei Gleichungen, um diese Unbekannten zu berechnen. Und das sind $I_1+I_2=280\,\rm A$ und eben $R_1I_1=R_2I_2$. \quoteoff Da erhalte ich \[\begin{align*} & I_1 = 280 - \frac{7}{500} x \\ & I_2 = \frac{7}{500} x \end{align*}\] Verbleibt die Frage, was \(x\) sein muss, damit der Spannungsabfall über den Fahrdraht maximal wird: \[\begin{align*} \Delta U_1 &= R_1 I_1 \\ &= \frac{\rho_{el} x}{A} \left(280 - \frac{7x}{500}\right) \\ &= \frac{280 \rho_{el}}{A} x - \frac{7 \rho_{el}}{500A} x^2 \end{align*}\] Als Funktion von \(x\): \[\begin{align*} \quad & f(x) = \frac{280 \rho_{el}}{A} x - \frac{7 \rho_{el}}{500A} x^2 \\ \implies \quad & f'(x) = \frac{280 \rho_{el}}{A} - \frac{14 \rho_{el}}{500A} x \end{align*}\] Und da kriegt man als Maximum dann tatsächlich \(x = 10\,000 \, \mathrm{m}\) heraus, na sowas 😁 Dann aber immer noch \(R_1 = R_2 = 1{,}7 \, \mathrm{\Omega}\), statt der erwarteten \(0{,}85 \, \mathrm{\Omega}\). Die Musterlösung sagt ja \(\Delta U = RI = 0{,}85 \, \mathrm{\Omega} \cdot 280 \, \mathrm{A} = 238 \, \mathrm{V}\) Ich erhalte \(\Delta U = R_1 I_1 = 1{,}7 \, \mathrm{\Omega} \cdot 140 \, \mathrm{A} = 2(0{,}85) * 280/2 = 238 \, \mathrm{V}\) Somit wurde die Schaltung irgendwie aufgefasst als ein Widerstand (0.85 Ohm) und ein Strom (280 A), statt den zwei Widerständen und den zwei (gleichgroßen) Strömen. Was genau die Intuition dahinter ist, weiß ich aber nicht.


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rlk
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-09-25

Hallo Thomas, Du kannst die Widerstände $R_1$ und $R_2$ als Parallelschaltung auffassen, für $x = 10~\mathrm{km}$ gilt dann $R_1 \parallel R_2 = R_1/2$. Servus, Roland


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