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Universität/Hochschule J Definition Testfunktion und Distribution
Mikka
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  Themenstart: 2022-09-25

Hallo Matheplanetarier, in der gängigen Literatur, so auch in unserer Vorlesung, haben wir den Testfunktionenraum als Raum der glatten Funktionen mit kompaktem Träger definiert und eine Distribution entsprechend als stetiges lineares Funktional auf diesem. Wir haben das noch weiter verallgemeinert und den Begriff des LF-Raumes eingeführt. Der Testfunktionenraum auf einer Menge $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$ wird dann mithilfe ineinander liegender Kompakta und einer darstellenden Folge von Frechet-Räumen erklärt, etwa $(C^{\infty}(K_{n}))_{n}$ mit $K_{n} \subset K_{n+1}$ sowie $n \in \mathbb{N}$ und $\bigcup K_{n}=\Omega$. Damit ist der Testfunktionenraum ein LF-Raum und wir haben eine Distribution als Abbildung von einem LF-Raum in die reellen oder komplexen Zahlen definiert. Jetzt habe ich mich zwischenzeitlich auch mit temperierten Distributionen befasst. Der Schwartz-Raum wird hier als Testfunktionenraum aufgefasst. Wie passt das mit der oben beschriebenen Definition eines Testfunktionenraumes zusammen? Die Kompaktheit des Trägers geht ja im Allgemeinen verloren. Oder kann man den Schwartz-Raum auch in einem gewissen Sinne als LF-Raum auffassen? Wieso wählt man hier nicht von Beginn an eine allgemeinere Definition, die für alle Testfunktionenräume gilt? Viele Grüße, Mikka


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Wally
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-09-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Hallo Mikka, der Schwarzraum \( \mathcal{S}\) ist ein Frechétraum (mit den passenden Halbnormen) und in etwa ein Paralleluniversum zu den Testfunktionen. Die Vorteile sind, dass die Fouriertransformation ein Isomorphismus ist, der Nachteil natürlich, dass alles auf dem ganzen Raum definiert sein muss. Außerdem ist \( \mathcal{D}\) in \( \mathcal{S}\) dicht. Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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Mikka
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-26

Hallo Wally, danke für die Antwort. Folgt die Tatsache, dass $\mathcal{S}$ ein Fréchet-Raum ist, daraus, dass $\mathcal{D}$ dicht in $\mathcal{S}$ liegt? Meines Erachtens bräuchte man dafür noch mehr, beispielsweise eine darstellende Folge. Wie sieht die für Schwartz-Räume konkret aus? Ich habe dazu bisher nichts gefunden, mich würde das aber sehr interessieren. Viele Grüße, Mikka


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PhysikRabe
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-09-26

\quoteon(2022-09-26 17:30 - Mikka in Beitrag No. 2) Folgt die Tatsache, dass $\mathcal{S}$ ein Fréchet-Raum ist, daraus, dass $\mathcal{D}$ dicht in $\mathcal{S}$ liegt? \quoteoff Einen Beweis, dass der Schwartz-Raum ein Fréchet-Raum ist, findet man in Folland, "Real Analysis" (Wiley, 2nd Ed.), Proposition 8.2.; siehe z.B. Seite 8 & 9 in diesem PDF. Grüße, PhysikRabe


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Mikka
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-26

Dankeschön! Noch eine letzte Frage. Es gibt ja auch Distributionen auf Sobolev-Räumen. Das müssten dann ja Fréchet- bzw. LF-Räume sein. Wo finde ich hierfür einen Beweis? Viele Grüße, Mikka


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PhysikRabe
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-09-26

\quoteon(2022-09-26 19:29 - Mikka in Beitrag No. 4) Dankeschön! Noch eine letzte Frage. Es gibt ja auch Distributionen auf Sobolev-Räumen. Das müssten dann ja Frécht- bzw. LF-Räume sein. Wo finde ich hierfür einen Beweis? \quoteoff Ich habe nicht genau danach gesucht und habe auch die Aussage nicht parat, aber zwei sehr gute Bücher, die ich bei solchen Themen (bei denen ich mich nicht so gut auskenne) zu Rate ziehe, sind $\bullet$ Brezis, "Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations" (Springer Verlag, 2011), $\bullet$ Treves, "Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels" (Dover, 2006). Vielleicht hilft dir das weiter. Grüße, PhysikRabe


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Wally
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-09-26

Bei Sobolev-Räumen habe ich die Vermutung, dass da die Distributionen einfach Elemente des Dualraums sind. Meine Standard-Referenz hier ist W. Kaballo, Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie Viele Grüße Wally


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Mikka
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-26

Danke euch beiden! Viele Grüße, Mikka


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