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Physik » Schwingungen und Wellen » Nichtlineare Differentialgleichung Schwingung
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Universität/Hochschule Nichtlineare Differentialgleichung Schwingung
Chocohuna
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  Themenstart: 2022-09-29

Bei einer Schwingung bin ich auf folgende DGL gestoßen: a x'' = b cos(x) - c sin(x) x ist der Auslenkwinkel. Und a, b, c sind Konstanten. Wie löst man sowas?


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-09-29

Du bringst $b\cos(x)-c\sin(x)$ in die Form $q\sin(x-\xi)$ und machst dann eine Kleinwinkelnäherung um $x=\xi$:$$ x'' = \frac qa\,\sin(x-\xi) \approx \frac qa\,(x-\xi) \;,\quad x(t)\approx\xi+A\exp\left(\sqrt{\frac qa}\,t\right) $$Ohne Näherung wirst du keine geschlossene Lösung finden. --zippy


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MontyPythagoras
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-09-29

Hallo zusammen, eine analytische Lösung auch für größere Winkel ist schon möglich, aber nicht mit elementaren Funktionen, sondern mit den Jacobi'schen Elliptischen Funktionen, die die Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale darstellen. Eine Darstellung durch die Jacobi'schen Theta-Funktionen ist auch möglich. Ciao, Thomas


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Chocohuna
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-01

Danke für eure Antworten. Mit Zahlen lautet die Gleichung (= Formel 1): a = 1/0.30581 (4 * cos(x) - 3 * sin(x)) a ist die Momentanbeschleunigung des Pendelkörpers, x ist der Auslenkwinkel. Im Bereich x = 0...90° lässt sich die Funktion als Gerade (= Formel 2) annähern: a=-14.105 * x + 13.08 Mit Streckenfunktion s = x * r, bzw. x = s/r, wobei r = 0,8 m (= Länge des Pendels) und a=s''(t) ergibt sich: 0.8 s''(t) = -14.105 * s(t) + 10.464 Das ist eine lineare DGL 2. Ordnung mit Störfunktion. Die Lösung dieser DGL ist die Summe aus der homogenen und der partikulären Lösung. Aber für die homogene Lösung erhalte ich kein Ergebnis: 0.8 s''(t) + 14.105 * s(t) = 0 charakteristisches Polynom (= Formel 3): 0.8 \lambda^2 + 14.105 = 0 Hat keine Lösung in IR. Woran liegt das, dass hier keine Lösung rauskommt? Es handelt sich doch um ein Pendel, für das müsste es doch eine passende Lösungsfunktion s(t) geben, also ein dazu passendes Zeit-Auslenkungs-Gesetz. \quoteoff


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Caban
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-10-01

Hallo Deine Näherungslösung ist nur eine Annäherung , daher bin ich der meinung, dass die Lösung auch nur eine Näherung ist. Deshalb ergibt sich eine Exponentialfunktion, aber eben nur aöls Näherung. Gruß Caban


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Chocohuna
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-01

\quoteon(2022-10-01 15:03 - Caban in Beitrag No. 4) Hallo Deine Näherungslösung ist nur eine Annäherung , daher bin ich der meinung, dass die Lösung auch nur eine Näherung ist. Deshalb ergibt sich eine Exponentialfunktion, aber eben nur aöls Näherung. Gruß Caban \quoteoff Aber es müsste doch wenigstens eine reelle Lösung sein. Hier kommt kein reelles lambda heraus, also keine reelle Exponentialfunktion. Hier die Funktion (Formel 1) und die Gerade (Formel 2) im Vergleich: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/45077_Verlaufen.jpg


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zippy
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-10-01

\quoteon(2022-10-01 15:06 - Chocohuna in Beitrag No. 5) Hier kommt kein reelles lambda heraus, also keine reelle Exponentialfunktion. \quoteoff Da ein Pendel, wie schon der Name nahelegt, schwingt, ist kein reelles, sondern ein rein imaginäres $\lambda$ zu erwarten.


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lula
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-10-08

\Wenn man nicht so stur nach Schema F vorgeht, weiss man eigentlich dass f''=-f die Lösungen sin(x) und cos(x) hat entsprechend f''=-a^2*f die Lösungen sin(ax) und cos(ax) sonst muss man verwenden dass jede Linearkombination von Lösungen einer linearen Dgl wieder Lösung ist und e^(-iax) und e^(iax) linear zu sin und cos kombinieren. lula


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