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Lineare Algebra » Eigenwerte » Eigenwerte eines Endomorphismus
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Universität/Hochschule Eigenwerte eines Endomorphismus
sinpi
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Dabei seit: 16.03.2022
Mitteilungen: 3
  Themenstart: 2022-09-30

Hallo zusammen! Ich hab schon etliche Foren online durchsucht, aber nichts gefunden, was ansatzweise in die Richtung meiner Frage geht. Ich bin auf folgendes Problem bei der Vorbereitung auf meine Nachklausur gestoßen: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55456_Screenshot_20220930-101518_Samsung_Notes.jpg Ehrlich gesagt bin ich komplett verloren hier. Ich weiß, dass ich für das Spectrum das char. Polynom benötige. Wir haben das aber nur für Matrizen definiert, also det(A-XE) oder eben für die Matrixdarstellung eines Endomorphismus statt der Matrix A. Muss ich bei der 1.3 also die Matrixdarstellung von Alpha bestimmen mithilfe der Standardbasis für Polynomräume? Dann mithilfe dieser die Eigenwerte berechnen? Wie würde so eine Matrixdarstellung überhaupt aussehen bzw wie gehe ich da ran? Theoretisch reicht mir eine kleiner Tipp, ob dieser Gedankengang richtig ist und wenn ja, wie ich an diese Matrixdarstellung rankomme, da ich die Matrixdarstellung noch nie in dieser Form berechnen musste. Den 2. Teil der Aufgabe sollte ich hinbekommen (also ob Alpha diagonalisierbar ist), es geht mir wirklich nur um einen Anfang ^^' Danke für jegliche Hilfen und Tipps.


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-09-30

\quoteon(2022-09-30 10:27 - sinpi im Themenstart) Ich weiß, dass ich für das Spectrum das char. Polynom benötige. \quoteoff Nein, das benötigst du nicht. \quoteon(2022-09-30 10:27 - sinpi im Themenstart) Muss ich bei der 1.3 also die Matrixdarstellung von Alpha bestimmen mithilfe der Standardbasis für Polynomräume? \quoteoff Nein, eine Matrixdarstellung ist hier nicht hilfreich. Betrachte einfach die Differentialgleichung $u'(t)=\lambda\,u$ und prüfe, welche deren Lösungen in deinem Vektorraum liegen. --zippy


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sinpi
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-01

Hey! Danke für den Gedankenanstoß! Ich hab das ganze jetzt mal eingesetzt und komme auf folgendes: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55456_20221001_170927.jpg Damit müsste lambda ja 0 sein oder? Es gibt nämlich keine reelle Zahl für lambda (außer 0), die ich einsetzen kann, sodass diese Gleichheit erfüllt ist.


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-10-01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2022-10-01 17:26 - sinpi in Beitrag No. 2) Hey! Danke für den Gedankenanstoß! Ich hab das ganze jetzt mal eingesetzt und komme auf folgendes: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55456_20221001_170927.jpg Damit müsste lambda ja 0 sein oder? Es gibt nämlich keine reelle Zahl für lambda (außer 0), die ich einsetzen kann, sodass diese Gleichheit erfüllt ist. \quoteoff Das mit der DGL solltest du anders angehen, da ein Polynom diese Differentialgleichung i.a. sicherlich nicht löst. Wie lautet denn die allgemeine Lösung der DGL und warum führt das dann in der Tat auf \(\lambda=0\) als dem einzigen Eigenwert hier (womit ja dann auch die Frage nach der Diagonalisierbarkeit beantwortet wäre)? Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Eigenwerte' von Diophant]\(\endgroup\)


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zippy
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-10-01

\quoteon(2022-10-01 17:26 - sinpi in Beitrag No. 2) Damit müsste lambda ja 0 sein oder? \quoteoff Richtig. Und da du die DGL $u'=\lambda\,u$ für ein beliebiges $u\in V$ betrachtet hast, bist du damit mit der Bestimmung des Spektrums schon fertig. Für die Aufgabe 1.4 geht das völlig analog. \quoteon(2022-10-01 18:43 - Diophant in Beitrag No. 3) Das mit der DGL solltest du anders angehen, da ein Polynom diese Differentialgleichung i.a. sicherlich nicht löst. \quoteoff Warum? Dass "ein Polynom diese Differentialgleichung i.a. sicherlich nicht löst" ist doch nichts anderes als die Aussage, dass $0$ der einzige Eigenwert ist.


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-10-01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) @zippy: \quoteon(2022-10-01 19:26 - zippy in Beitrag No. 4) Warum? Dass "ein Polynom diese Differentialgleichung i.a. sicherlich nicht löst" ist doch nichts anderes als die Aussage, dass $0$ der einzige Eigenwert ist. \quoteoff Hm. Ich finde es in dieser Version schwierig, auf den ersten Blick zu sehen, dass \(u=a_0\) die Gleichung löst. Ich würde die Vorgehensweise für mich als "holprig" bezeichnen, aber das ist natürlich eine subjektive Sichtweise. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Nuramon
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-10-01

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Für Aufgabe 1.3 gibt es auch eine Lösung ohne Differentialgleichungen: Überlege Dir, dass $\alpha$ nilpotent ist. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]\(\endgroup\)


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sinpi
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-02

\quoteon(2022-10-01 19:35 - Nuramon in Beitrag No. 6) Für Aufgabe 1.3 gibt es auch eine Lösung ohne Differentialgleichungen: Überlege Dir, dass $\alpha$ nilpotent ist. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.] \quoteoff Ich glaube tatsächlich das ist der gewollte Weg, da wir DGL zum Zeitpunkt der Veröffentlichung der Aufgabe noch nicht hatten. α ist ja nilpotent, weil α$^{l}$ = (u')$^{l}$ = 0 Damit gilt, dass das char. Polynom = λ$^{l}$ und somit 0 der einzige Eigenwert sein kann, richtig?


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go361
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-10-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\bN}{\mathbb{N}} \newcommand{\bZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\bQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\bR}{\mathbb{R}} \newcommand{\bC}{\mathbb{C}} \) Mach dir nicht zu viele Gedanken über den Begriff "Differentialgleichung". Dieser sagt einfach nur, dass eine Gleichung eine Ableitung enthält. Hier ist das Entscheidende, dass $u' = \lambda u$ eine lineare Gleichung ist, das Ableiten eine lineare Operation ist.\(\endgroup\)


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