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Mathematik » Geometrie » Übertragung Lenkwinkel aus der Praxis
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Schule Übertragung Lenkwinkel aus der Praxis
Josh51
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  Themenstart: 2022-10-01

Hallo zusammen, leider hadere ich seit einigen Tagen mit einem mathematischen Problem in meiner Garage und hoffe, hier auf entsprechende Fachkenntnisse zu treffen. Kurze Beschreibung: Ich möchte den Winkel einer Lenkachse, welche sich jeweils um 50° drehen lässt, über eine Zugvorrichtung an eine gespiegelte Lenkachse übertragen. Der hintere Winkel der Achse soll jeweils 33° betragen. Der Abstand der beiden Achsen ist mit 1335mm fest, die Fixierung des hinteren Kugelkopfes liegt 145mm vom Drehpunkt mittig auf der Achse. Dieser Drehpunkt ist jedoch nicht parallel zu dem vorderen Drehpunkt, sondern um 20mm versetzt (siehe Bild). https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55862_Unbenannt.PNG Die Länge der Zugstange muss einen festen Wert besitzen. Nun die Frage: An welcher Stelle montiere ich den Kugelkopf an der vorderen Achse, dass die beiden Achsen in gerader Richtung identisch stehen, und die hintere Achse sich um jeweils 33° dreht, wenn die Vordere die 50° einlenkt? Skizzierungen haben leider nicht den gewünschten Erfolg gebracht, deshalb muss es doch eine rechnerische Ermittlung geben? Falls es keine 100%-ige Lösung gibt, wäre ich auch für den nächstgenaueren Annäherungswert dankbar. Gruß Josh


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MontyPythagoras
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-01

Hallo Josh, ich habe Dir auf GeoGebra eine kleine Simulation gebastelt. Du kannst den Punkt "A" greifen und "lenken", der Lenkwinkel wird angezeigt. In der Startposition ist der Winkel links ungefähr 16,5° und rechts ungefähr 25°, wie gewünscht. Wenn Du den Punkt A jetzt nach links bewegst, so dass die linke Achse ungefähr um 16,5° in die andere Richtung ausgelenkt ist, ist der Winkel an der rechten Achse nur 8,5°. Die Bewegung ist insgesamt zu asymmetrisch. Du kannst die Länge der Koppelstange "L" (Startwert 1380) und den Angriffsradius "r" (Startwert 148) links im Algebrabereich entweder eintippen oder per Schieberegler verändern, aber es wird sich nichts grundlegendes ändern. Es ist geometrisch nicht möglich, dass Du bei drei Vorgabewinkeln (-16,5°, 0°, +16,5°) drei feste Ergebnisse (+25°, 0°, -25°) bekommst. Geht nicht. Ciao, Thomas


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StefanVogel
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-10-02

Eventuell geht, die Vorrichtung so gestalten, dass sie zwei einstellbare Variablen X und Y enthält. Dann hat man eine Einstellmöglichkeit mehr, um auch den dritten Winkel passend zu machen. Viele Grüße, Stefan


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StefanVogel
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-10-02

\quoteon(2022-10-01 15:00 - Josh51 im Themenstart) Falls es keine 100%-ige Lösung gibt, wäre ich auch für den nächstgenaueren Annäherungswert dankbar. \quoteoff Meine besten Näherungswerte sind r=97.445446 (dann sind die Abweichungen bei -16.5° und 16.5° gleich groß) und L zwischen 1351.01 (dann ist bei 16,5° die kleinste Abweichung) und 1353.41 (dann ist bei 0° die kleinste Abweichung). Reicht das als Näherung schon aus?


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haribo
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-10-02

zeichnerisch bestätigt sich die lösungen von stefan, die 20mm versatz verbessern übrigens das ergebnis etwas gegenüber wenn es 0mm versatz hätte, https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_achse.jpg


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Josh51
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-03

Hallo zusammen, vielen Dank für eure Antworten. Dass es für meine Problemstellung kein zufriedenstellendes mathematisches Ergebnis gibt war mir bereits bewusst, weshalb ich mit der bestmöglichen Näherung auch zufrieden bin. Dank der von Thomas dargestellten Zeichnung über GeoGebra, welche Software ich bis jetzt leider vergeblich gesucht hatte, habe ich bereits etwas mit den bestmöglichen Werten herumprobiert, wobei ich auch auf das von Stefan und haribo bereits beschriebene Ergebnis gekommen bin. Da die Konstruktion aufgrund des Kugelkopfes sowie der Zugstange sowieso etwas Spiel besitzt, kann diese geringe Abweichung wohl vernachlässigt werden. Danke für eure Hilfestellung! Grüße Josh


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ebikerni
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-10-07

Hallo, um ein Ergebnis zu berechnen sind alle angegebenen Werte zu beachten. Wenn alle Werte in dem großen kreis geändert werden, dann verkleinern sich die entsprechenden Werte um ca. 0.67 . Kannst Du Josh51 das bestätigen? Gruß ebikerni


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StefanVogel
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-10-08

\quoteon(2022-10-02 06:41 - StefanVogel in Beitrag No. 2) Eventuell geht, die Vorrichtung so gestalten, dass sie zwei einstellbare Variablen X und Y enthält. Dann hat man eine Einstellmöglichkeit mehr, um auch den dritten Winkel passend zu machen. \quoteoff Das versuche ich so: Bei Lenkwinkel 0° verbinde ich die Stange \(L=X\) von \(P2\) ausgehend nicht direkt in \(A2\) mit der hinteren Achse, sondern füge über ein Gelenk \(B2\) eine zweite Stange bis \(C2\) an und verbinde diese in \(A2\) mit der hinteren Achse. Das andere Ende \(C2\) ist dann über eine dritte Stange \(L2=X2\) wieder mit der Lenkachse in Punkt \(Q2\) verbunden, blau gezeichnet in der Skizze $ \begin{tikzpicture} \coordinate (H) at (0,0.20); \coordinate (V) at (13.35,0); \coordinate (A1) at (-0.41,-1.19); \coordinate (A2) at (0.00,-1.25); \coordinate (A3) at (0.41,-1.19); \coordinate (B1) at (-0.85,-0.98); \coordinate (B2) at (-0.01,-0.77); \coordinate (B3) at (0.85,-0.98); \coordinate (C1) at (0.85,-1.79); \coordinate (C2) at (0.02,-2.64); \coordinate (C3) at (-0.85,-1.79); \coordinate (P1) at (12.50,1.81); \coordinate (P2) at (13.35,2.00); \coordinate (P3) at (14.20,1.81); \coordinate (Q1) at (14.20,-1.81); \coordinate (Q2) at (13.35,-2.00); \coordinate (Q3) at (12.50,-1.81); \draw (H) circle[radius=1.6]; \draw (V) circle[radius=1.6]; \draw (P1) circle[radius=0.08] -- (Q1) circle[radius=0.08] (P2) circle[radius=0.08] -- (Q2) circle[radius=0.08] (P3) circle[radius=0.08] -- (Q3) circle[radius=0.08]; \draw (H) -- (A3) circle[radius=0.08] (H) -- (A2) circle[radius=0.08] (H) -- (A1) circle[radius=0.08] ; \draw[blue,very thick] (P2) circle[radius=0.03] -- node[sloped,above] {L=X} (B2) circle[radius=0.06] -- (A2) circle[radius=0.03] -- (C2) circle[radius=0.06] -- node[sloped,below] {L2=X2} (Q2) circle[radius=0.03] ; \draw[violet,very thick] (P3) circle[radius=0.03] -- (B3) circle[radius=0.06] -- (A3) circle[radius=0.03] -- (C3) circle[radius=0.06] -- (Q3) circle[radius=0.03] ; \draw[orange,very thin] (P1) circle[radius=0.03] -- (B1) circle[radius=0.06] -- (A1) circle[radius=0.03] -- (C1) circle[radius=0.06] -- (Q1) circle[radius=0.03] ; \node[right] at (H) {H}; \node[right] at (V) {V}; \node[below left,orange] at (A1) {A1}; \node[above,blue] at (A2) {A2}; \node[below right,violet] at (A3) {A3}; \node[below left,orange] at (B1) {B1}; \node[above,blue] at (B2) {B2}; \node[below right,violet] at (B3) {B3}; \node[below left,orange] at (C1) {C1}; \node[below,blue] at (C2) {C2}; \node[below right,violet] at (C3) {C3}; \node[above,orange] at (P1) {P1}; \node[above,blue] at (P2) {P2}; \node[above,violet] at (P3) {P3}; \node[below,orange] at (Q1) {Q1}; \node[below,blue] at (Q2) {Q2}; \node[above left,violet] at (Q3) {Q3}; \end{tikzpicture} $ Den Radius \(R=200\) von der vorderen Drehachse \(V\) bis \(P2\) und genau gegenüberliegend von \(V\) bis \(Q2\) habe ich mir fest vorgegeben. Dann bleiben vier einstellbare Größen \(L=X\), \(L2=X2\), Abstand von \(B2\) nach \(A2\) und Abstand von \(A2\) nach \(C2\), um die drei Lenkwinkel (orange, blau, violett gezeichnet) passend einzustellen und als vierte Bedingung nehme ich noch willkürlich hinzu, dass \(C1\) und \(C3\) den gleichen Abstand von der hinteren Drehachse \(H\) haben sollen. Als Ergebnis erhalte ich folgende Koordinaten \sourceon A1=[-41.182224982068774,-119.028861555888] A2=[0,-125] A3=[41.182224982068774,-119.028861555888] B1=[-84.52365234775299,-98.2435717003685] B2=[-0.5354688022601387,-76.93524291505628] B3=[84.52365234808552,-98.24357170106191] C1=[84.52365234786203,-179.31374960887393] C2=[1.5530539599246822,-264.4052486323435] C3=[-84.5236523477713,-179.3137496090577] P1=[1250.4763476521532,181.26155740670126] P2=[1335,199.99999999930628] P3=[1419.5236523478468,181.26155740670126] Q1=[1419.5236523478166,-181.26155740663657] Q2=[1335,-199.9999999992349] Q3=[1250.4763476521834,-181.26155740663657] Probe: |A1-C1|=139.4138993172799; |A2-C2|=139.41389931727736; |A3-C3|=139.41389931727755; |A1-B1|=48.06773970630241; |A2-B2|=48.06773970630241; |A3-B3|=48.06773970630241; |P1-B1|=1363.9457896840727; (Länge L=X ist jetzt bei allen drei Lenkwinkeln gleich |P2-B2|=1363.9457896840731; |P3-B3|=1363.9457896840731; |Q1-C1|=1335.0014209562084; (auch Länge L2=X2 ) |Q2-C2|=1335.0014209562087; |Q3-C3|=1335.0014209562084; \sourceoff Nicht geschafft habe ich, den Radius schrittweise auf \(R=160\) zu verringern, weil davor \(C3\), \(B3\), \(P3\) auf einer Linie zu liegen kommen und dann geht es nicht weiter.


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ebikerni
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-10-11

Hallo, Im Themenstart von Josh51 ist gefordert : Länge der Zugstange und Radius im rechten Kreis.. Mit entsprechender Literatur und Taschenrechner habe ich für die Zugstange = 1353.1 und Radius = 95.7 berechnet. Wenn sich der linke Kreis um 33°, dann bewegt sich der rechte Kreis um 50°. Folglich müssen die beiden Kreisbögen gleich sein, also 83.514.. Wenn ich im linken Kreis die Abweichung = 20 auf die Länge der Zugstange berechne, dann verkürzt sich diese um ca. 0.3 auf 1352.8. Kontrolle: Linker Bogen = 145 * 33° * pi/180 = 83.514.. Rechter Bogen = 95.7 * 50° * pi/180 = 83.514.. Gruß ebikerni


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StefanVogel
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-10-15

@ebikerni: Hallo ebikerni, nicht die beiden Kreisbögen müssen gleich lang sein, sondern die beiden Kreissehnen. Dadurch ergibt sich ein geringfügig anderer Radius R=97,4... Viele Grüße, Stefan


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haribo
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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-10-16

Stefan, wird das auch bei allen zwischenwinkeln syncron? Oder nur bei den drei angegebenen?


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StefanVogel
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-10-16

Die angegebene Lösung ist nur bei 3 Winkeln passend gemacht. Dazwischen darf es Abweichungen geben. Ich habe aber nicht geschaut, wie groß die sind und ob eventuell weitere Winkel exakt passen. Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit des Vorderrades ist die Winkelgeschwindigkeit des Hinterrades nicht konstant. Da insgesamt sechs Variablen verwendet werden (die beiden R, sie können auch unterschiedlich sein, X und X2 und die beiden Abschnitte A2-B2 und A2-C2), könnten theoretisch noch drei weitere Winkel passend gemacht werden, was ich aber nicht versucht habe weil nicht verlangt.


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haribo
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  Beitrag No.12, eingetragen 2022-10-17

Interessant deine geometrie stefan, nur wenn man Q einführt könnte man ja auch gleich ein lenk parallelogram auf der unteren seite anordnen


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
StefanVogel
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  Beitrag No.13, eingetragen 2022-10-22

Das habe ich versucht, P2 und Q2 soweit zusammendrücken, dass ein Parallelogramm entsteht. Warum das nicht funktioniert, erkläre ich mir so: Wenn ich den Abstand 1353.41 für Lenkwinkel 0° schräg in ein Parallelogramm einzeichne $ \begin{tikzpicture} \draw[white] (-1,0) -- (-0.9,0); \draw[blue] (13.5,0) +(90:1) node[above] {P2} -- (13.5,-1) node [below] {Q2} -- (0,-1) node [below] {C2} -- (0,1) node [above] {B2} -- cycle; \draw (0,0.3) circle (0.06) -- node[below,sloped] {1353.41} (13.5,0.8) circle (0.06) ; \end{tikzpicture} $ dann wird bei Lenkwinkel -25° der Abstand kleiner $ \begin{tikzpicture} \draw[white] (-1,0) -- (-0.9,0); \draw[orange] (13,0.9) node[above] {P1} -- (14,-0.9) node [below] {Q1} -- (0.5,-0.9) node [below] {C1} -- (-0.5,0.9) node [above] {B1} -- cycle; \draw (-0.14,0.27) circle (0.06) -- node[below,sloped] {kleiner als 1353.41} (13.10,0.72) circle (0.06) ; \end{tikzpicture} $ und bei Lenkwinkel +25° wird der Abstand größer $ \begin{tikzpicture} \draw[white] (-1,0) -- (-0.9,0); \draw[brown] (14,0.9) node[above] {P3} -- (13,-0.9) node [below] {Q3} -- (-0.5,-0.9) node [below] {C3} -- (0.5,0.9) node [above] {B3} -- cycle; \draw (0.14,0.27) circle (0.06) -- node[below,sloped] {größer als 1353.41} (13.90,0.72) circle (0.06) ; \end{tikzpicture} $ oder umgekehrt. Ich kann damit nicht für beide Lenkwinkel -25° und +25° den benötigten Abstand 1351.01 einstellen, deshalb das Trapez.


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ebikerni
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  Beitrag No.14, eingetragen 2022-10-22

Hallo, bei mir bleibt die Zugstange immer 1353.1 und der Radius 95.7... Gruß ebikerni


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StefanVogel
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  Beitrag No.15, eingetragen 2022-10-22

Die Probe muss stimmen. Bei Lenkwinkel 0° gilt \((R+125)^2+1335^2=X^2\) (Satz des Pythagoras) Für \(X=1353.1\) und \(R=95.7\): \((R+125)^2+1335^2-X^2=53.88\) Für \(X=1353.405695\) und \(R=97.445446\): \((R+125)^2+1335^2-X^2=0.001188\)


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