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 Realteil und Imaginärteil berechnen |
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juergenX
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Mitteilungen: 946
 |  Themenstart: 2022-10-04
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[Dieser Thread wurde abgespalten von [diesem Thread] von matroid]
\quoteon(2022-10-03 21:30 - Wario in Beitrag No. 13)
\quoteon(2022-10-03 20:59 - nikofld3 in Beitrag No. 12)
Also:
Wie schreibt man e^(2pi/16) ohne Taschenrechner so um, dass man real- und imaginärteil hat?
Es geht ja cos(22,5°)+sin(22,5°)i, aber in der Klausur darf ich keinen Taschenrechner nutzen, wie kann ich dass dann anders bestimmen? Für cos und sin bräuchte ich ja einen Taschenrechner?
\quoteoff
\quoteoff
wir wissen dass $\displaystyle cos(45°)+isin(45°) = e^{\frac{i\pi}{4}}$
wir wissen auch dass $\displaystyle cos(22,5°)+isin(22,5°)
= e^{\frac{i\pi}{8}}$.
$\displaystyle cos(45°) = sin(45°) = \frac{\sqrt2}{2}$
und $\displaystyle cos (\alpha/2) = \sqrt{1+cos(\alpha)/2}$ also $cos(22,5°) = \sqrt{1+\sqrt2/4}$.
Brauch man kein Taschenrechner aber ne Formelsammlung.
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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
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Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-04
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
@juergenX:
\quoteon(2022-10-04 12:41 - juergenX in Beitrag No. 19)
$\displaystyle cos (\alpha/2) = \sqrt{1+cos(\alpha)/2}$
\quoteoff
Auch das ist falsch. Richtig wäre:
\[\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\sqrt{\frac{1+\cos(\alpha)}{2}}\]
Siehe hier.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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juergenX
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-04
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\quoteon(2022-10-04 13:00 - Diophant in Beitrag No. 20)
@juergenX:
\quoteon(2022-10-04 12:41 - juergenX in Beitrag No. 19)
$\displaystyle cos (\alpha/2) = \sqrt{1+cos(\alpha)/2}$
\quoteoff
Auch das ist falsch. Richtig wäre:
\[\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\sqrt{\frac{1+\cos(\alpha)}{2}}\]
Siehe hier.
Gruß, Diophant
\quoteoff
ja ich meinte
$\displaystyle cos (\alpha/2) = \sqrt{(1+cos(\alpha))/2}$
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-10-04
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
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\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
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\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
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\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\quoteon(2022-10-04 13:02 - juergenX in Beitrag No. 21)
ja ich meinte
$\displaystyle cos (\alpha/2) = \sqrt{(1+cos(\alpha))/2}$
\quoteoff
Und bekommst daher folgendes heraus:
\quoteon(2022-10-04 12:41 - juergenX in Beitrag No. 19)
$cos(22,5°) = \sqrt{1+\sqrt2/4}$.
\quoteoff
?
Das ist nämlich auch falsch...
\(\endgroup\)
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juergenX
Aktiv
Dabei seit: 08.07.2019
Mitteilungen: 946
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-04
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\quoteon(2022-10-04 13:02 - juergenX in Beitrag No. 2)
Richtig wäre:
\[\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\sqrt{\frac{1+\cos(\alpha)}{2}}\]
\quoteoff
ja .
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Caban
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Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
 | Beitrag No.5, eingetragen 2022-10-05
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Hallo
Du hast aber falsch gerechnet.
Gruß Caban
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juergenX
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-05
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\quoteon(2022-10-05 10:29 - Caban in Beitrag No. 5)
Hallo
Du hast aber falsch gerechnet.
Gruß Caban
\quoteoff
ja ich kam mit all den \sqrt \alpha []{} usw durcheinender...
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juergenX
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-05
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\quoteon(2022-10-04 23:36 - juergenX in Beitrag No. 4)
\quoteon(2022-10-04 13:02 - juergenX in Beitrag No. 2)
$\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\sqrt{\frac{1+\cos(\alpha)}{2}}$
\quoteoff
\quoteoff
$\displaystyle \cos\left(22.5°\right) = \sqrt{\frac{2+\sqrt2}{4}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2+\sqrt2}$
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Caban
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Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
| Beitrag No.8, eingetragen 2022-10-05
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Hallo
Jetzt passt es.
Gruß Caban
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Mandelbluete
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 | Beitrag No.9, eingetragen 2022-10-05
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Wenn man keine Formelsammlung hat, genügt es typischerweise, sich die Additionstheoreme für $\sin(x + y)$ und $\cos(x + y)$ sowie $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ gemerkt zu haben und jederzeit die Funktionsgraphen von Sinus und Kosinus zeichnen zu können. 🙂
Aus $\cos(x) = \cos(2 \cdot \tfrac{x}{2})$ bekommt man dann, wie schon gesagt wurde,
\[
\cos\frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}}, \quad
-\pi \leq x \leq \pi,
\]
und mit $\cos\tfrac{\pi}{4} = \sin\tfrac{\pi}{4} = \tfrac{1}{\sqrt{2}}$ insbesondere nach Umformung
\[
\cos{\frac{\pi}{8}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \quad\text{und}\quad
\sin{\frac{\pi}{8}} = \sqrt{1 - \cos^2\frac{\pi}{8}} =
\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}.
\]
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
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