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Lineare Algebra » Vektorräume » Mengen auf Untervektorraumeigenschaft prüfen
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Universität/Hochschule J Mengen auf Untervektorraumeigenschaft prüfen
nDawn
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  Themenstart: 2022-10-06

Servus liebes Forum, Eine kurze Frage bezüglich ob folgende Mengen Untervektorräume von R3 bzw. R4 sind. Stimmt das so wie ich das bis jetzt gelöst habe? Man prüft ja ob eine Menge ein Untervektorraum ist indem man die Summe und skalare Multiplikation verwendet oder ein klares Gegenbeispiel findet. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55640_image0_4_.jpg


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wladimir_1989
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-06

Hallo nDawn, nein, so geht das nicht. Was man prüfen muss ist, dass eine beliebige Linearkombination aus der zu prüfenden Menge wieder ein Element der Menge ist, sowie die Menge den Nullvektor enthält. Im ersten Beispiel musst du also eine beliebige Linearkombination \(v=u+\lambda w\) nehmen und zeigen, dass sie die definierende Eigenschaft der Menge erfüllt, also \(v_3=v_1+v_2\) gilt. Hier ist das erfüllt, beim Beispiel b) aber nicht. Außerdem musst du explizit prüfen, dass der Nullvektor in der Menge liegt. lg Wladimir


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Diophant
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-10-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, du prüfst hier ja überhaupt nichts nach, sondern hakst einfach nur ab... Insbesondere kann bspw. \(U_2\) kein Untervektorraum des \(\IR^3\) sein. Warum nicht? Gruß, Diophant [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.] [Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Vektorräume' von Diophant]\(\endgroup\)


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lula
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-10-06

Hallo ein typischer Vektor aus U2 sieht nie aus wie deiner sondern (x_1;x_2;sqrt(x_1^2+x_2^2)) in U3 liegt (1;0;0;0) nicht in U3 ) denn x_4 ungleich -1/3*x_1 Gruß lula


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-10-06

\quoteon(2022-10-06 13:13 - nDawn im Themenstart) Eine kurze Frage bezüglich ob folgende Mengen Untervektorräume von R3 bzw. R4 sind. \quoteoff Hallo nDawn, sollen das \(\IZ\)'s sein? und wenn ja, wieso?


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-10-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) @StrgAltEntf: \quoteon(2022-10-06 16:21 - StrgAltEntf in Beitrag No. 4) sollen das \(\IZ\)'s sein? und wenn ja, wieso? \quoteoff ich hätte es jetzt für \(\eta\)'s gehalten (die etwas "verluftet" daherkommen). Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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ligning
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-10-06

Das sind sicher kleine Lambdas. Ich schreib die auch so ähnlich.


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nDawn
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-06

\quoteon Hallo nDawn, sollen das \(\IZ\)'s sein? und wenn ja, wieso? \quoteoff Das sind Lambdas für die skalare Multiplikation, sind evtl. nicht die schönsten, schlechte Angewohnheit, lol.


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nDawn
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-06

Ich habe meine Rechnungen jetzt auch nochmal überarbeitet und hab komplett darauf vergessen meine Bedingung bei U2, umzuschreiben und korrekt einzusetzen. Zudem habe ich auch wie von @lula schon gesagt für jede Menge jetzt auch den Nullvektor überprüft. (Ich kann das ganze auch viel leichter mit eingesetzten Werten vorstellen als mit Variablen, soll es jedoch mit Variablen rechnen und nachweisen.) Hier die neuen Rechnungen, hoffe die Qualität des Bildes ist ok. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55640_image0_5_.jpg PS: Bei U4, bin ich mir noch immer unsicher.


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Diophant
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-10-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, prüfe nochmal deine Argumentation für \(U_3\) bzw. mache dir klar, dass bei dir in den Fällen \(U_2\) und \(U_3\) die exakt gleiche Argumentation zu unterschiedlichen Resultaten führt. Da kann also etwas nicht stimmen. In dem Zusammenhang die ernst gemeinte Frage: wie heißt gleich nochmal das Fachgebiet, in dem wir uns hier bewegen? Deine Vorgehensweise ist zwar prinzipiell nicht falsch, aber schwer nachvollziehbar. So schwer, dass du dir ständig selbst auf den Leim gehst... Rechne also besser Summe und skalares Vielfaches jeweils getrennt nach. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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nDawn
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-07

\quoteon(2022-10-06 17:42 - Diophant in Beitrag No. 9) In dem Zusammenhang die ernst gemeinte Frage: wie heißt gleich nochmal das Fachgebiet, in dem wir uns hier bewegen? \quoteoff Wir befinden uns in der linearen Algebra bei Vektorräumen und wollen nun für gegebene Mengen beweisen, dass diese ein Untervektorraum des \IR^3 bzw. \IR^4 sind. Ich habe jetzt auch die Summe und die skalare Multiplikation separat hergenommen und muss ehrlich sagen, dass das so übersichtlicher und leichter zu rechnen ist. Hier meine neuen Rechnungen: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55640_image0_6_.jpg Dies sollte soweit jetzt stimmen, bin mir allerdings bei U3 jetzt noch unsicher wie ich hier weiter rechnen sollte.


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Diophant
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-10-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2022-10-07 19:02 - nDawn in Beitrag No. 10) \quoteon(2022-10-06 17:42 - Diophant in Beitrag No. 9) In dem Zusammenhang die ernst gemeinte Frage: wie heißt gleich nochmal das Fachgebiet, in dem wir uns hier bewegen? \quoteoff Wir befinden uns in der linearen Algebra... \quoteoff Richtig. Und da sollte man dann schon einmal misstrauisch werden, wenn eine solche Menge durch eine nichtlineare Gleichung beschrieben wird, wie das im Fall der Mengen \(U_2\) und \(U_3\) der Fall ist. Stimmst du mir da zu? Nicht, dass das hier als Argumentation ausreicht: aber wenn man das berücksichtigt, dann vermeidet man hier schon einmal, solche grünen Häkchen zu setzen, wo sie nicht hingehören... \quoteon(2022-10-07 19:02 - nDawn in Beitrag No. 10) Dies sollte soweit jetzt stimmen... \quoteoff Für \(U_1\) stimmt die Summe. Die Rechnung ist aber immer noch ziemlich holprig notiert. Versuche dich beim Abfassen solcher Rechnungen einmal in potentielle Leser hineinzuversetzen: würdest du beim Lesen verstehen, was deine Rechnung aussagt? Das skalare Vielfache musst du aber auch konkret anhand eines Elements aus \(U_1\) nachweisen. Die Definitionsgleichung mit \(\lambda\) zu multiplizieren, würde ja in jedem Fall funktionieren, hat also keinerlei Aussagekraft hier. Für \(U_2\) ist die Rechnung für die Summe am Ende unvollständig. Und bei \(U_3\) warst du doch auch schon weiter, weil du ja die Gestalt der Vektoren richtig hingeschrieben hattest. Tipp: fange dort einmal mit der Prüfung des skalaren Vielfachen an, das ist hier m.A. nach einfacher. Dass die Definitionsgleichung dieser Menge wie gesagt nichtlinear ist, ist dir klar? Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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nDawn
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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-08

Okay, das heisst auch ich hätte mir bei U1 die Nachweise der nicht leeren Menge, sowie der Abgeschlossenheit bezgl. Addition und skalarer Multiplikation auch sparen können, da die Menge ja ein homogenes LGS ist. Ich habe das trotzdem jetzt mal einzeln nachgerechnet und komme auf folgendes Ergebnis. Das sollte jetzt auch wie Du vorgeschlagen hast für den Leser besser nachweisbar sein was hier gerechnet wurde: (Gerade aufgefallen, Änderung: Der Nullvektor ist element von U1 natürlich nicht R3) https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55640_image0_7_.jpg U2, U3 und U4 folgen noch.


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Diophant
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  Beitrag No.13, eingetragen 2022-10-08

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-10-08 17:19 - nDawn in Beitrag No. 12) Okay, das heisst auch ich hätte mir bei U1 die Nachweise der nicht leeren Menge, sowie der Abgeschlossenheit bezgl. Addition und skalarer Multiplikation auch sparen können, da die Menge ja ein homogenes LGS ist. \quoteoff Nein, das heißt es nicht. Meine Anmerkung war eine Anregung zum Mitdenken, das hatte ich aber auch explizit so formuliert. \quoteon(2022-10-08 17:19 - nDawn in Beitrag No. 12) Ich habe das trotzdem jetzt mal einzeln nachgerechnet und komme auf folgendes Ergebnis... \quoteoff Das hast du ja schön verschlimmbessert. Es bringt nichts, mit einem allgemeinen Spaltenvektor aus dem \(\IR^3\) zu rechnen, du musst das für die Vektoren aus dem fraglichen Untervektorraum tun. Für die Summe also etwa so: \[\ba \bpm x_1\\x_2\\x_1+x_2\epm+\bpm y_1\\y_2\\y_1+y_2\epm&=\bpm x_1+y_1\\x_2+y_2\\x_1+x_2+y_1+y_2\epm\\ \\ &=\bpm x_1+y_1\\x_2+y_2\\(x_1+y_1)+(x_2+y_2)\epm \ea\] Gibst du mir recht, dass das jetzt nachvollziehbar ist? Außerdem komme ich ohne skalare Nebenrechnungen und ohne kleine grüne Pfeile aus... Und bei der skalaren Multiplikation könnte man es ebenfalls per Vektorschreibweise machen machen. Also etwa \[\lambda\cdot\bpm x_1\\x_2\\x_1+x_2\epm=\bpm \lambda x_1\\ \lambda x_2\\ \lambda x_1+\lambda x_2\epm\] Deine Vorgehensweise ist jedoch jetzt auch richtig. Für den Nullvektor kann man ebenfalls die Definitionsgleichung verwenden: \[0+0=0\] Fertig. Im Fall von Summe und skalarem Vielfachen sieht man jetzt, dass das Ergebnis wieder die Definitionsgleichung der Menge \(U_1\) erfüllt. Wenn es einmal nicht so offensichtlich sein sollte, kannst du so ein Ergebnis ja auch wieder in die Definitionsgleichung einsetzen, um zu zeigen, dass sie erfüllt ist (oder eben das Gegenteil). Diese Teilaufgabe dient hier ja offensichtlich zum "Warmrechnen". Für die anderen drei Mengen musst du das jetzt entsprechend machen. Und wenn man vorher darüber nachdenkt, dann weiß man bereits, dass \(U_4\) wieder ein UVR ist, die Mengen \(U_2\) und \(U_3\) können aus dem oben genannten Grund keine Untervektorräume sein. Aber das gilt es wie gesagt nachzurechnen bzw. durch Rechnung zu zeigen. Hast du denn kein Material, wo du solche Rechnungen beispielhaft nachlesen kannst und dir insbesondere vernüftige Schreibweisen abschauen kannst? Allgemein könnte mich dir (für Analysis und Lineare Algebra) diese Buchreihe wärmstens empfehlen. Nur speziell diesen Aufgabentyp habe ich im zuständigen ersten Band auf die Schnelle nicht gefunden. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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lula
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  Beitrag No.14, eingetragen 2022-10-08

Bei 3 musst du doch nachprüfen dass bei r*x und x+y wieder x1+x2x3+3x4=0 ist wenn es für x und y gilt, D.h. du bildest r*x=z und x+y =z und rechnest dann nach ob z1+z2z3+3z4=0 lul


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nDawn
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  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-08

Vielen Dank für die ausgiebigen Erklärungen und die Geduld, ich habe irgendwie immer viel zu dämlich gedacht. Ich habe noch ein letztes Mal neu gerechnet und kommt jetzt auch auf sinnvolle Ergebnisse, und habe auch bei U3 in die Definitionsgleichung eingesetzt, da dies auf den ersten Blick nicht für mich ersichtlich war. Muss ich wenn ich für Summe oder Multiplikation schon festgestellt habe, dass es kein UVR ist, trotzdem noch das andere berechnen? Sollte jetzt so passen, hoffe ich: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55640_1_image0_5_.jpg [Die Antwort wurde nach Beitrag No.13 begonnen.]


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Diophant
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  Beitrag No.16, eingetragen 2022-10-08

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, wenn ich nichts übersehen habe, dann passt es jetzt soweit. Bei \(U_2\) bin ich mir unsicher, ob man da nicht noch eine kleine Begründung nachschieben sollte, dass i.a. \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\neq\sqrt{a+b}\) ist. Das kannst du aber vermutlich besser beurteilen, ob das erwartet wird, oder nicht. Ansonsten kann man es wie gesagt meiner Meinung nach so stehen lassen. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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nDawn
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  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-08

Perfekt, dann Danke nochmals für die Hilfe!!!!


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Wally
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  Beitrag No.18, eingetragen 2022-10-08

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Wer Lust hat, kann ja mal prüfen, ob \( U=\left\{\begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix} \, \mid\, x^3-y^3=0\right\}\) ein Untervektorraum des \( \IR^2\) ist. Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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Diophant
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  Beitrag No.19, eingetragen 2022-10-08

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) @Wally: \quoteon(2022-10-08 22:40 - Wally in Beitrag No. 18) Wer Lust hat, kann ja mal prüfen, ob \( U=\left\{\begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix} \, \mid\, x^3-y^3=0\right\}\) ein Untervektorraum des \( \IR^2\) ist. \quoteoff Ja, das ist ein Unterraum. Auf der anderen Seite ist das aber schnell erklärt, denn es ist \(x^3-y^3=0\ \Leftrightarrow\ x-y=0\) äquivalent zu einer linearen Gleichung. Gruß, Diophant \(\endgroup\)


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AlphaSigma
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  Beitrag No.20, eingetragen 2022-10-09

\quoteon(2022-10-08 17:55 - Diophant in Beitrag No. 13) ... Hast du denn kein Material, wo du solche Rechnungen beispielhaft nachlesen kannst und dir insbesondere vernüftige Schreibweisen abschauen kannst? Allgemein könnte mich dir (für Analysis und Lineare Algebra) diese Buchreihe wärmstens empfehlen. Nur speziell diesen Aufgabentyp habe ich im zuständigen ersten Band auf die Schnelle nicht gefunden. Gruß, Diophant \quoteoff Hallo, im "Gelben Rechenbuch" und einigen weiteren LA Büchern habe ich erstmal auch nur wenige bis gar keine passenden Beispiele gefunden. Im Buch Analytische Geometrie und Lineare Algebra von Ina Kersten findet man im Abschnitt 2.9 "Beispiele und Gegenbeispiele" auf S. 26 u. 27 etwas dazu. Hier Untervektorraum gibt es weitere Beispiele. Viele Grüße AlphaSigma


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nDawn hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
nDawn hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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