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| Autor |
  Woher weiß ich, ob das rational ist? |
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nikofld3
Aktiv 
Dabei seit: 26.02.2022
Mitteilungen: 215
 |  Themenstart: 2022-10-06
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https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55422_alder.png
(2cos 2pi/10)^2+p*(2cos 2pi/10)+q=0.
Nun soll ich p und q so bestimmen, dass es 0 ergibt. ich kann z. B. sagen q=0 und p sei einfach - (2cos 2pi/10), aber keine Ahnung ob das passt, ist 2cos 2pi/10 überhaupt rational?
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 Profil
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sonnenschein96
Senior 
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 705
| Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-06
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Hallo nikofld3,
nein, \(2\cos(\frac{2\pi}{10})\) ist nicht rational, das wäre ja auch etwas einfach.
Du musst natürlich die Dinge ausnutzen, welche in der Aufgabenstellung gegeben sind: Du willst \(p,q\in\mathbb{Q}\) finden, sodass \(x^2+px+q=0\) für \(x:=2\cos(\frac{2\pi}{10})\) und Du weißt, dass \(x=\zeta+\zeta^{-1}\). Setze dies ein und multipliziere die Gleichung mit \(\zeta^2\). Dann nutze weiter, dass \(\zeta^4-\zeta^3+\zeta^2-\zeta+1=0\) ist. Damit kannst Du \(p\) und \(q\) bestimmen und dann die Nullstellen von \(x^2+px+q\) berechnen, von denen \(2\cos(\frac{2\pi}{10})\) die positive Nullstelle ist.
[Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Komplexe Zahlen' von sonnenschein96]
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Kuestenkind
Senior 
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2570
| Beitrag No.2, eingetragen 2022-10-06
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Huhu,
setze doch mal \(\zeta+\zeta^{-1}=\eta\). Nun dividieren wir \(0=\zeta^4-\zeta^3+\zeta^2-\zeta+1\) durch \(\zeta^2\). Wir erhalten \(\zeta^2+\frac{1}{\zeta^2}-\underbrace{\left(\zeta+\zeta^{-1}\right)}_{=\eta}+1=0\). Nun beachte noch \(0=2-2\).
Gruß,
Küstenkind
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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nikofld3
Aktiv 
Dabei seit: 26.02.2022
Mitteilungen: 215
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-06
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Danke, so habe ich zunächst auch gedacht, dann kam ich jedoch auf p=-1 und q=-2 und davon die Nullstellen sind 2 und -1, wenn ich x^2-x-2 dann nehme und die Nullstellen berechne. Und 2*cos(2pi/10) ist ja nicht 2...?
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sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 705
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-10-06
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\quoteon(2022-10-06 18:48 - nikofld3 in Beitrag No. 3)
[...] dann kam ich jedoch auf p=-1 und q=-2 [...]
\quoteoff
Das ist nicht korrekt. Du müsstest uns schon Deine Rechnung präsentieren, damit wir Dir den Fehler aufzeigen können.
\quoteon(2022-10-06 18:48 - nikofld3 in Beitrag No. 3)
Und 2*cos(2pi/10) ist ja nicht 2...?
\quoteoff
Stimmt. Das beweist, dass Deine Werte für \(p,q\) nicht korrekt sind.
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wladimir_1989
Senior
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1688
Wohnort: Freiburg
| Beitrag No.5, eingetragen 2022-10-06
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Hallo nikofld3,
hier noch ein anderer Zugang. Wir haben \(\zeta^{10}=1\) und damit \(\zeta^{-1}=\zeta^9\) sowie \(\zeta^{-2}=\zeta^8\). Gleichzeitig gilt \(\zeta^5=-1\) und folglich \(\zeta^{-1}=\zeta^9=-\zeta^4\) und \(\zeta^{-2}=-\zeta^3\). Sei nun \(x=\zeta+\zeta^{-1}\). Dann gilt \(x^2=\zeta^2-\zeta^3+2\) und \(x=\zeta-\zeta^4\). Mit dieser Vorüberlegung und der Gleichung \(\zeta^4-\zeta^3+\zeta^2-\zeta+1=0\) kann man nun leicht die gesuchten \(p,q\in \mathbb{Q}\) bestimmen, so dass \(x^2+px+q=0\) gilt.
lg Wladimir
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Wario
Aktiv
Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 1239
| Beitrag No.6, eingetragen 2022-10-07
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\quoteon(2022-10-06 17:59 - nikofld3 im Themenstart)
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55422_alder.png
\quoteoff
$\zeta^4-\zeta^3+\zeta^2-\zeta+1=0$ durch $\zeta^2$ dividiert:
$\left( \zeta^2+\dfrac{1}{\zeta^2} \right)
-\left( \zeta+\dfrac{1}{\zeta} \right) +1 =0$
N.R.: $\left( \zeta+\dfrac{1}{\zeta} \right)^2
=\zeta^2 +\dfrac{1}{\zeta^2} +2$
$\Rightarrow~
\underbrace{\left( \zeta+\dfrac{1}{\zeta} \right)^2}_{=x^2} -2
-\underbrace{\left( \zeta+\dfrac{1}{\zeta} \right)}_{=x}
+1 =0$
$\Rightarrow~ x^2-x-1=0$
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nikofld3 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
nikofld3 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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