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 Braucht Kategorientheorie besondere Mengenlehre? |
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tobit09
Aktiv 
Dabei seit: 24.04.2018
Mitteilungen: 79
 |  Themenstart: 2022-10-08
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Hallo zusammen!
Vorweg: Bin (wie manche hier wissen) noch Anfänger in Sachen Kategorientheorie. In Sachen Mengenlehre habe ich im Studium ZFC gelernt, bin aber auch interessiert an der Idee struktureller Mengenlehren.
Was für eine Art Objekt ist eigentlich eine Kategorie?
Eine Kategorie besteht ja nach gängiger Definition aus vier (in vielen typischen Beispielen echten) Klassen.
Geeignet kodiert ist eine Kategorie somit selbst eine Klasse.
Nun wollen wir offenbar in der Kategorientheorie Kategorien, Funktoren, usw. zu Objekten unserer Theorie machen, insbesondere über sie quantifizieren (mit Existenz- und All-Quantoren).
Wenn ich also nicht auf naive Mengen-/Klassen-Lehre zurückfallen möchte, muss ich also zunächst die Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre lernen oder eine alternative Mengenlehre mit Klassen finden, in der sich z.B. der Kategorienbegriff sinnvoll definieren lässt.
Damit scheidet ZFC praktisch als zugrunde gelegte Mengenlehre aus, oder?
Auch strukturelle Mengenlehren wie SEPS/SEAR o.ä. müssten zunächst um einen passenden Klassenbegriff erweitert werden. Ob und wenn ja wie dies sinnvoll möglich wäre, ist für mich nicht offensichtlich.
Meine Fragen dazu:
1. Liege ich mit meinen Überlegungen richtig oder übersehe ich etwas? Eigentlich muss man doch NBG (oder eine passende Alternative) lernen, um Grundlagen der Kategorientheorie formal verstehen zu können?
2. Kennt jemand eine "sinnvolle" strukturelle Mengenlehre mit Klassen oder andere "gute" Alternativen zu NBG?
Danke für euren Input.
Viele Grüße
Tobias
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tactac
Senior 
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2707
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-08
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Ich glaube, um eine Theorie mit einer Hierarchie von Universen wird man kaum herum kommen. Hier wird eine Idee einer ZF[C]-Erweiterung skizziert, die es erlauben soll, in der Oberflächensprache recht "naiv" zu argumentieren, und mit der in einem gewissen Sinn z.B. "die Kategorie aller Kategorien" tatsächlich eine "Kategorie" ist.
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Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6472
Wohnort: Berlin
 |  Beitrag No.2, eingetragen 2022-10-09
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Man braucht nicht unbedingt Klassen (das bringt tatsächlich auch technisch viele Nachteile mit sich, zum Beispiel lassen sich Funktorkategorien gar nicht bilden), man kann das auch mit Grothendieck-Universen aufziehen (alles ist also eine Menge, nur eben ggf. auf einer "höheren Stufe"). Weitere Infos dazu:
https://arxiv.org/abs/0810.1279 (Mike Shulman, Set theory for category theory)
https://ncatlab.org/nlab/show/Grothendieck+universe (und die 4 dort genannten Referenzen)
https://en.wikipedia.org/wiki/Tarski%E2%80%93Grothendieck_set_theory (eine sehr praktische Mengenlehre für die Kategorientheorie)
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tobit09
Aktiv 
Dabei seit: 24.04.2018
Mitteilungen: 79
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-09
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Hallo tactac und Triceratops,
ein großes Dankeschön für euren tollen Input! Das ist nach meinem ersten Eindruck genau das, was ich suche. :-)
Ich entnehme euren Beiträgen schon auf den ersten Blick, dass die "Probleme" (verbreitete Mengenlehren sind ungeeignet, das zu erlauben, was man typischerweise in der Kategorientheorie tut) sogar weitergehen als von mir im Ausgangsbeitrag dargestellt.
Tatsächlich erscheint es auch mir "schöner" und weniger einschränkend, wenn man nicht auf Klassen angewiesen ist.
Ich brauche jetzt erstmal etwas Zeit, um mich genauer in die genannten Quellen einzulesen. Bei Rückfragen melde ich mich dann nochmal.
Viele Grüße und einen schönen Sonntag
Tobias
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