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Strukturen und Algebra » Kategorientheorie » Exakte Sequenz faktorisieren
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Kein bestimmter Bereich Exakte Sequenz faktorisieren
juergenX
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  Themenstart: 2022-10-09

[Dieser Thread wurde abgespalten von [diesem Thread] von matroid] \quoteon(2022-10-09 09:53 - Triceratops in Beitrag No. 9) Ich habe hier nur grob gelesen. Die Aufgabenstellung ist jedenfalls nicht richtig. Die Voraussetzung ist äquivalent dazu, dass es gespaltene Monomorphismen $A \hookrightarrow B$ und $B \hookrightarrow A$ gibt, was für die Isomorphie nicht ausreicht (es gibt viele Gegenbeispiele). Auch in abelschen Kategorien stimmt die Aussage nicht, nicht einmal in $\mathbf{Ab}$. Der Beweis in Beitrag 4 ist also fehlerhaft. Der Beweis in Beitrag 7 ist auch sehr lückenhaft (Monomorphismen in konkreten Kategorien müssen nicht injektiv sein, und die Isomorphie der zugrunde liegenden Mengen reicht nicht aus). \quoteoff Eine Sequenz $\displaystyle 0\longrightarrow A'\;{\overset {f}{\longrightarrow }}\;A$ ist genau dann exakt, wenn $\displaystyle f\colon A'\to A$ ein Monomorphismus, d. h. injektiv ist. Unter Verwendung eines Hakenpfeils kann dies auch mit 2 Termen geschrieben werden: $\displaystyle A'\;{\overset {f}{\hookrightarrow }}\;A$. Das ist aus https://de.wikipedia.org/wiki/Exakte_Sequenz weiß nicht ob das irgendws beantwortet, besonders weil ich "faktorisieren" nicht verstehe...

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