Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von nzimme10
Analysis » Funktionentheorie » Einschränkung von Polynomen sind endlich
Autor
Universität/Hochschule J Einschränkung von Polynomen sind endlich
Julian5266
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 08.06.2022
Mitteilungen: 23
  Themenstart: 2022-10-11

Hallo zusammen :) Ich habe nochmal eine Frage bzgl. Endlichkeit von holomorphen Funktionen. Ich schreibe gerade meine Bachelorarbeit im Gebiet Funktionentheorie und arbeite mich dafür gerade durch das Buch Funktionentheorie 2 von Remmert. Er definiert hier endliche Funktionen wie folgt: Seien $G,G' \subset \mathbb{C}$ Gebiete und $(z_{n})$ eine Folge in $G$. Wir nennen $(z_{n})$ eine Randfolge in $G$, wenn sie keinen Häufungspunkt in $G$ hat. Eine holomorphe Funktion $f:G \rightarrow G'$ heißt endlich, wenn gilt: Ist $(z_{n})$ ein Randfolge in $G$, so ist $f(z_{n})$ eine Randfolge in $G'$ Nun stehen wir in einem Beweis vor folgender Situation: Sei $q$ ein Polynom. Es gebe ein $R \in (0,\infty)$ und ein $c \in \mathbb{C}$, sodass die Menge $\{z \in \mathbb{C} : |q(z)| < R \}$ eine offene Kreisscheibe $U_r(c)$ mit $r \in (0, \infty)$ als Zusammenhangskomponente hat. Mit diesen Voraussetzugen behauptet Remmert ohne Erklärung, dass die Einschränkung $q|_{U_r(c)}:U_{r(c)} \rightarrow U_R(0)$ endlich ist. Ich versuche das nun schon seit zwei Tagen zu zeigen, habe aber keine zündende Idee. Ich konnte zeigen, dass eine holomorphe Abbildung $f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ genau dann endlich ist, wenn f ein nicht konstantes Polynom ist. Damit ist q als Polynom bereits endlich. Allerdings weiß ich nicht, wie ich die Endlichkeit auf die Einschränkung übertragen soll. Mein Grundproblem ist dabei folgendes: Der Begriff einer Randfolge ändert sich je nachdem welches Gebiet man als Definitionsbereich bzw Zielbereich wählt. Polynome sind auf ganz $\mathbb{C}$ definiert. - Die Randfolgen in $\mathbb{C}$ sind genau die Folgen $(z_n)$ für die gilt $|z_n| \rightarrow \infty$. - Die Randfolgen in $U_r(c)$ sind genau die Folgen $(z_n)$ in $U_r(c)$, die nur Häufungspunkte auf dem Rand $\partial U_r(c)$ haben. - Die Randfolgen in $U_R(0)$ hingeben sind genau die folgen $(z_n)$ in $U_R(0)$, für die gilt $|z_n| \rightarrow R$ (bzw. genau die Folgen deren Häufungspunkte alle auf $\partial U_R(0)$ liegen.) Hat jemand eine Idee, wie man hier vorgehen könnte, oder zumindest einen Verweis auf andere Literatur in der so etwas bewiesen wird ? Liebe Grüße, Julian


   Profil
darkhelmet
Senior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 05.03.2007
Mitteilungen: 2677
Wohnort: Bayern
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-11

Hi, vielleicht geht es eleganter, aber: Sei $(z_n)$ eine Randfolge in $U_r(c)$ und $h$ ein Häufungspunkt (in $\mathbb{C}$) von $\big(q(z_n)\big)$. Dann gibt es eine Teilfolge $(z_{n_k})$ mit $q(z_{n_k})\rightarrow h$. Weil $\overline{U_r(c)}$ kompakt ist, gibt es davon wieder eine Teilfolge $(z_{n_{k_l}})$ und ein Element $a\in\overline{U_r(c)}$ mit $z_{n_{k_l}}\rightarrow a$. Weil $(z_n)$ eine Randfolge ist, muss gelten $a\notin U_r(c)$, bzw. $a\in\partial U_r(c)$. Da $U_r(c)$ Zusammenhangskomponente von $\{z\in\mathbb{C}:|q(z)|


   Profil
Julian5266
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 08.06.2022
Mitteilungen: 23
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-12

Vielen Dank :) Das war wohl ein klassischer Fall von "Den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr gesehen". Jetzt kann ich endlich weitermachen


   Profil
Julian5266 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Julian5266 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]