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Differentiation » Differentialrechnung in IR » Differenzierbarkeit von der Umkehrfunktion
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Universität/Hochschule J Differenzierbarkeit von der Umkehrfunktion
Oskar-G
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Dabei seit: 18.04.2022
Mitteilungen: 11
  Themenstart: 2022-10-14

Wenn $f \in C^1((a,b); \mathbb{R})$ und $f'(x) \neq 0 \forall x \in \mathbb{R}$ gilt dann das $f^{-1} \in C^1((a,b)$ da ja $f \circ f^{-1} = x$ und $x,f \in C^1((a,b); \mathbb{R})$ oder muss man mit den definitionen Beweisen das $f^{-1}$ differenzierbar ist. (Das wäre nicht die Schwierigkeit ist aber viel Schreibarbeit)


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Diophant
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Mitteilungen: 10271
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-14

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2022-10-14 13:26 - Oskar-G im Themenstart) Wenn $f \in C^1((a,b); \mathbb{R})$ und $f'(x) \neq 0 \forall x \in \mathbb{R}$ gilt dann das $f^{-1} \in C^1((a,b)$ da ja $f \circ f^{-1} = x$ und $x,f \in C^1((a,b); \mathbb{R})$... \quoteoff bist du dir sicher, dass du das Intervall der Umkehrfunktion richtig notiert hast? Das ergibt so eigentlich keinen Sinn. Auf \((\min(f(a),f(b)),\max(f(a),f(b))\) würde es jedenfalls gelten. Aber ob du es noch beweisen musst oder nicht, kann man anhand deiner Frage nicht entscheiden. Wenn man bei so etwas Zweifel hat ist es ja nicht die schlechteste Idee, den Beweis zu erbringen. Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Differentialgleichungen' in Forum 'Differentialrechnung in IR' von Diophant]\(\endgroup\)


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zippy
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-10-14

\quoteon(2022-10-14 13:26 - Oskar-G im Themenstart) da ja $f \circ f^{-1} = x$ und $x,f \in C^1((a,b))$ \quoteoff Aus $f\circ g=h$ und $h,f\in C^1$ folgt nicht notwendigerweise $g\in C^1$. --zippy


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Oskar-G
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Dabei seit: 18.04.2022
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-14

@zippy jo perfekt danke schön @Diophant Gemeint war natürlich das $f^{-1}: f(a,b) -> (a,b)$ das war ein Tippfehler


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