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  Differenzierbarkeit von der Umkehrfunktion |
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Oskar-G
Junior 
Dabei seit: 18.04.2022
Mitteilungen: 11
 |  Themenstart: 2022-10-14
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Wenn $f \in C^1((a,b); \mathbb{R})$ und $f'(x) \neq 0 \forall x \in \mathbb{R}$ gilt dann das $f^{-1} \in C^1((a,b)$ da ja $f \circ f^{-1} = x$ und $x,f \in C^1((a,b); \mathbb{R})$ oder muss man mit den definitionen Beweisen das $f^{-1}$ differenzierbar ist. (Das wäre nicht die Schwierigkeit ist aber viel Schreibarbeit)
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 Profil
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10271
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-14
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
\quoteon(2022-10-14 13:26 - Oskar-G im Themenstart)
Wenn $f \in C^1((a,b); \mathbb{R})$ und $f'(x) \neq 0 \forall x \in \mathbb{R}$ gilt dann das $f^{-1} \in C^1((a,b)$ da ja $f \circ f^{-1} = x$ und $x,f \in C^1((a,b); \mathbb{R})$...
\quoteoff
bist du dir sicher, dass du das Intervall der Umkehrfunktion richtig notiert hast? Das ergibt so eigentlich keinen Sinn. Auf \((\min(f(a),f(b)),\max(f(a),f(b))\) würde es jedenfalls gelten. Aber ob du es noch beweisen musst oder nicht, kann man anhand deiner Frage nicht entscheiden.
Wenn man bei so etwas Zweifel hat ist es ja nicht die schlechteste Idee, den Beweis zu erbringen.
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Differentialgleichungen' in Forum 'Differentialrechnung in IR' von Diophant]\(\endgroup\)
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4270
 | Beitrag No.2, eingetragen 2022-10-14
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\quoteon(2022-10-14 13:26 - Oskar-G im Themenstart)
da ja $f \circ f^{-1} = x$ und $x,f \in C^1((a,b))$
\quoteoff
Aus $f\circ g=h$ und $h,f\in C^1$ folgt nicht notwendigerweise $g\in C^1$.
--zippy
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Oskar-G
Junior 
Dabei seit: 18.04.2022
Mitteilungen: 11
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-14
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@zippy jo perfekt danke schön
@Diophant Gemeint war natürlich das $f^{-1}: f(a,b) -> (a,b)$ das war ein Tippfehler
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