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Analysis » Maßtheorie » Borelsche Matrix
Autor
Universität/Hochschule Borelsche Matrix
Carly2004
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 26.06.2022
Mitteilungen: 26
  Themenstart: 2022-10-24

Hey, hat jemand einen Ansatz, wie ich zeigen kann, dass die Borelsche-Sigma-Algebra durch G:={B_r(q),r\el\ \IQ_+,q\el\ \IQ^n}, wobei B_r(x):={y\el\ \IR^n: abs(x-y)<=r} erzeugt werden kann?

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semasch
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 454
Wohnort: Wien
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-25

Moin Carly2004, verwende die Dichtheit von $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$, um zu zeigen, dass sich jede offene Teilmenge von $\mathbb{R}^n$ als Vereinigung von Mengen aus $G$ schreiben lässt. Überlege dir weiters, dass $G$ nur aus abzählbar vielen Mengen besteht, womit sich offenbar jede offene Teilmenge von $\mathbb{R}^n$ sogar als Vereinigung von höchstens abzählbar vielen Mengen aus $G$ schreiben lässt. Damit enthält $\sigma(G)$ alle offenen Teilmengen von $\mathbb{R}^n$. Folgere damit, dass $\sigma(G) = \mathfrak{B}_n$ gilt. LG, semasch

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