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Gewöhnliche DGL » Theorie der Gew. DGL » Grenzwert Lösung einer ODE
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Universität/Hochschule J Grenzwert Lösung einer ODE
Pioch2000
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  Themenstart: 2022-10-26

Gegeben ist das AWP $y^\prime=f(y,t),y(0)=y_0$ und das größtmögliche Intervall $(a,b)$ auf dem eine Lösung $u$ existiert, die monoton steigend ist. Meine Frage ist, ob dann $\lim\limits_{t\to b} u(t)=\infty$ gilt? Ich würde sagen ja, denn wenn der Grenzwert endlich ist, lässt sich die Lösung nach rechts fortsetzen und das Intervall auf dem die Lösung existiert wäre nicht maximal. Ist das richtig?


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MontyPythagoras
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-26

Hallo Pioch2000, und wenn die Funktion (streng) monoton gegen einen endlichen Grenzwert strebt, zum Beispiel $y(t)=1-e^{-t}$? Ob Du das als DGL verklausulierst oder nicht, es gibt keinen Grund anzunehmen, dass eine monoton steigende Funktion gegen unendlich geht, selbst wenn Du das Intervall nach "rechts" unendlich ausdehnst. Oder $y(t)=1-\sqrt{1-t^2}$, darstellbar als $y'(t)=\frac t{1-y(t)}$. Weiter als bis $t=1$ kannst Du das Intervall in $\mathbb R$ nicht ziehen, trotzdem ist der Funktionswert nicht unendlich. Ciao, Thomas


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Pioch2000
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-26

Danke für deine Antwort. Wenn die Differentialgleichung autonom ist und $f$ positiv, und $f(y_0)>0$ gilt dann das selbe? $f$ ist stetig differenzierbar auf $\mathbb R$


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Wally
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-10-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Hallo Pioch2000, wenn ich das richtig verstehe hast du eine Dgl, bei der die rechte Seite auf einer hinreichend großen Menge definiert ist. Es gibt den Satz: Maximale Lösungen laufen von Rand zu Rand. Das bedeutet, dass Lösungen nicht im Inneren der Menge "verhungern" können, entweder wird nach rechts (und links auch, natürlich) ein Randpunkt der Definitionsmenge erreicht, oder der Betrag der Lösung geht nach \( \infty\). Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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Pioch2000
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-26

Hallo wally, du willst wahrscheinlich aug den Satz von Picard-Lindölf raus. Ich habe die Dgl $y^\prime =f(y), y(0)=y_0$ wobei $f$ stetig differenzierbar und positiv auf $\mathbb R$ und $f(y_0)>$. Jetzt möchte ich zeigen, dass für eine maximale Lösung $u$ auf $(a,b)$ gilt $\lim\limits_{t\to b }u(t)=\infty$.


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Wally
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-10-26

Hallo, mit Picard-Lindelöf hat das nichts zu tun - das sind allgemeine Existenzsätze. Ein bischen unübersichtlich ist es hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Nicht-fortsetzbare_L%C3%B6sung Viele Grüße Wally


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haerter
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-10-27

Hallo, um auch noch etwas Senf dazuzugeben und die Kommentare oben in Relation zueinander zu setzen: Das Prinzip, dass Lösungen von Rand zu Rand laufen, gilt auch für nichtautonome DGL. Montys Beispiel ist eben so gebaut, dass der "Rand des Definitionsbereichs" der rechten Seite bei $y=1$ ist. Wenn Du dagegen $y'=f(y,t)$ betrachtest und $f$ für alle $y$ und alle $t$ definiert ist, dann liegt der Rand im Unendlichen, d.h. die Lösungen existieren für alle $t>0$, d.h. $b=+\infty$ oder $|u(t)|\to\infty$ für $t\nearrow b$. Viele Grüße, haerter


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