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Gewöhnliche DGL » DGLen 1. Ordnung » Lösen einer nichtlinearen DGL 1. Ordnung
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Universität/Hochschule J Lösen einer nichtlinearen DGL 1. Ordnung
Cyborg
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Dabei seit: 20.05.2009
Mitteilungen: 675
  Themenstart: 2022-10-28

Hallo, Leute! Bei einer Aufgabe habe ich eine DGL aufstellen können, die ich nicht von Hand lösen kann: $$x\cdot y(x)\cdot y'(x)-y(x)^2-2a^2\cdot y'(x)=0$$ Laut "Mathematica" ist die Lösung: $$y(x)=\dfrac{1}{2}\cdot(x\cdot c^2+\sqrt{-4a^2c^2+x^2\cdot c^4})$$ Wenn "Mathematica" das schafft, dann können es bestimmt auch Menschen von Hand!? Wie löst man sowas???


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Cyborg
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-28

Man kann glaube ich umschreiben: $y'(x)=\dfrac{y(x)^2}{x\cdot y(x)-2a^2}=:f(x,y(x))$


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Caban
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-10-28

Hallo Ich würde einen integrierenden Faktor verwenden. exp(-int(1/y,y) Der funktioniert nicht, siehe unten Gruß Caban


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Kuestenkind
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-10-30

Huhu Cyborg, ich würde das direkt lösen. \(y=0\) löst sicherlich. Für \(y\neq 0\): \(\displaystyle xyy'-y^2-2a^2 y'=0\) \(\displaystyle -2a^2y'=y^2-x y y'\) \(\displaystyle \frac{-2a^2y'}{y^3}=\frac{y-x y'}{y^2}\) \(\displaystyle \left(\frac{a^2}{y^2}\right)'=\left(\frac{x}{y}\right)'\) Gruß, Küstenkind


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Kuestenkind
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-10-31

\quoteon(2022-10-28 19:29 - Caban in Beitrag No. 2) Hallo Ich würde einen integrierenden Faktor verwenden. exp(-int(1/y,y) Gruß Caban \quoteoff Das ist übrigens verkehrt. Richtig wäre exp(-int(3/y,y) . Damit erhält man dann auch \(\frac{1}{y^3}\) als Faktor, den man auch intuitiv erhält, wenn man die DGL so umformt, wie es in #3 steht. Gruß, Küstenkind


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Caban
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-10-31

Hallo Ja, du hast recht, ich hatte einen Vorzeichenfehler


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Cyborg
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-01

Hallo, Kuestenkind! Deine Lösung gefällt mir gut! Da wäre ich nicht so schnell drauf gekommen! Ich danke euch allen!!!


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Cyborg hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Cyborg hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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