|
Autor |
Induktion über m oder n |
|
Erdbeere99
Aktiv  Dabei seit: 11.05.2021 Mitteilungen: 180
 | Themenstart: 2022-11-05
|
Hallo, ich habe folgende Aufgabe:
Für alle \( n \in \mathbb{N}_{\geq 1} \) gilt
\(
\begin{aligned}
\sum \limits_{k=1}^{n} k(k+1) &=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}, \\
\sum \limits_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2) &=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4} .
\end{aligned}
\)
Stellen Sie eine Vermutung auf, welche Formel allgemein für
\(
\sum \limits_{k=1}^{n} k(k+1) \cdot \ldots \cdot(k+m-1)
\)
gilt, wobei \( m \in \mathbb{N}_{\geq 1} \). Beweisen Sie die Vermutung durch vollständige Induktion.
Mein Frage ist nun, ob die vollständige Induktion über k oder m durchgeführt werden soll? Bei n sehe ich kein Problem, aber wie kann die Induktion über m durchgeführt werden, wenn man ein Produkt und eine Summe drin hat?
Vielen Dank schon einmal
|
Profil
|
Wauzi
Senior  Dabei seit: 03.06.2004 Mitteilungen: 11608
Wohnort: Bayern
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-05
|
Hallo,
k ergibt keinen Sinn, da es der Laufindex ist.
Bleiben nur n oder m.
Beides geht, der naheliegendere Weg dürfte n sein.
Gruß Wauzi
|
Profil
|
Erdbeere99
Aktiv  Dabei seit: 11.05.2021 Mitteilungen: 180
 | Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-05
|
\quoteon(2022-11-05 18:19 - Wauzi in Beitrag No. 1)
Beides geht, der naheliegendere Weg dürfte n sein.
\quoteoff
Danke erstmal. Ich habe es erstmal mit m probiert, denn bei den ersten beiden Beispielen wurde jeweils das m verändert. Nur dann stand ich bei dem Induktionsschritt da und wusste nicht, wie man das so umformen kann, dass man mit der Induktionsvoraussetzung arbeiten kann. Da haben stets die Summen gestört
|
Profil
|
Wauzi
Senior  Dabei seit: 03.06.2004 Mitteilungen: 11608
Wohnort: Bayern
 | Beitrag No.3, eingetragen 2022-11-05
|
m ist schon aufwendiger.
Zerlege den letzten Faktor in k-1 und m und multipliziere aus.
Damit bekommst Du zwei Summen. Bei der zweiten wird m ausgeklammert die Summe hat die "Länge" m-1 und jetzt kann die IV angewendet werden.
Bei der ersten ist der erste Summand k-1. Jetzt Indexverschiebung und es kommt wieder eine Summe der "Länge" m heraus. Dies müßte mit der Ausgangssumme verarbeitbar sein.
Ich habe es allerdings nicht nachgerechnet, wenn es dumm läuft, bekommt man 0=0,
Gruß Wauzi
|
Profil
|
Erdbeere99
Aktiv  Dabei seit: 11.05.2021 Mitteilungen: 180
 | Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-05
|
\quoteon(2022-11-05 18:35 - Wauzi in Beitrag No. 3)
m ist schon aufwendiger.
Zerlege den letzten Faktor in k-1 und m und multipliziere aus.
Damit bekommst Du zwei Summen. Bei der zweiten wird m ausgeklammert die Summe hat die "Länge" m-1 und jetzt kann die IV angewendet werden.
Bei der ersten ist der erste Summand k-1. Jetzt Indexverschiebung und es kommt wieder eine Summe der "Länge" m heraus. Dies müßte mit der Ausgangssumme verarbeitbar sein.
Ich habe es allerdings nicht nachgerechnet, wenn es dumm läuft, bekommt man 0=0,
Gruß Wauzi
\quoteoff
Wenn man den Induktionsschritt anwendet (m->m+1), ist doch der letzte Faktor (k+m), also ist bei der ersten Summe der erste Faktor k², oder?
|
Profil
|
Wauzi
Senior  Dabei seit: 03.06.2004 Mitteilungen: 11608
Wohnort: Bayern
 | Beitrag No.5, eingetragen 2022-11-05
|
Ich bin von m-1->m ausgegangen.
zerlege so, daß k-1 übrigbleibt, damit am Anfang der Summe (k-1)*k*... steht
|
Profil
| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
Wauzi
Senior  Dabei seit: 03.06.2004 Mitteilungen: 11608
Wohnort: Bayern
 | Beitrag No.6, eingetragen 2022-11-05
|
Ich habe das Ganze mal durchgerechnet. Allerdings wurde es keine Induktion, obwohl ich damit angefangen habe, sondern die Beh. kam direkt raus:
Behauptung:
S(n,m):=sum(k(k+1)*...*(k+m-1),k=1,n)=1/(m+1)*produkt((n+k),k=0,m)
Beweis:
S(n,m+1)=sum(k(k+1)*...*(k+m+1-1),k=1,n)=
=sum(k(k+1)*...*(k-1),k=1,n)+sum(k(k+1)*...*(k+m+1-2)*(m+1),k=1,n)=
=sum((k-1)k(k+1)*...*(k+m+1-2),k=1,n)+(m+1)*S(n,m)=
=sum(k(k+1)*...*(k+m+1-1),k=0,n-1)+(m+1)*S(n,m)=
=sum(k(k+1)*...*(k+m+1-1),k=1,n)+(m+1)*S(n,m)-n*(n+1)*...*(n+m)=
=S(n,m+1)+(m+1)*S(n,m)-n*(n+1)*...*(n+m)
=>(m+1)*S(n,m)=n*(n+1)*...*(n+m)
und dies ist die Beh.
|
Profil
|
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen. Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|