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| Autor |
 Beweis Lösbarkeit des Gleichungssystems |
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TobiDE
Neu 
Dabei seit: 06.11.2022
Mitteilungen: 1
 |  Themenstart: 2022-11-06
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Hallo zusammen!
Ich hoffe jemand kann mir die Rückrichtung dieses Beweises erklären
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55933_WhatsApp_Image_2022-11-06_at_14.03.55.jpeg
Gruß
Tobias
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 Profil
| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
Bozzo
Senior 
Dabei seit: 11.04.2011
Mitteilungen: 2287
Wohnort: Franken
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-07
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Hallo TobiDE und willkommen auf dem Matheplanet!
Was ist denn dein Wissensstand und wie weit bist du schon selbst gekommen? Welchen Beweis hast du denn für die Aussage, den du nicht verstehst? Wie gut hast du dessen Hinrichtung verstanden?
Gruß
Bozzo
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Kathleen_IIa
Junior
Dabei seit: 08.11.2022
Mitteilungen: 5
| Beitrag No.2, eingetragen 2022-11-09
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Schreiben wir das Gleichungssystem in zunächst Matrixform
matrix(b_ij) matrix(y_j) = matrix(f_i) (1)
und Orthogonalität bedeutet z^>*f^> = 0
für alle Lösungen z^> des homogenen transponierten Systems
matrix(b_ij) matrix(z_i) = 0 (2)
Mit den Spaltenvektoren
b^>_j := matrix(b_1j;.;.;.;b_nj)
von matrix(b_ij)
wird (2) zu b^>_j * z^> = 0
d.h. matrix(b_1j,...,b_nj) (z_1;.;.;.;z_n) = 0
<=> matrix(z_1,...,z_n) (b_1j;.;.;.;b_nj) = 0 (3)
Jeder Lösung
z^> von (2) entspricht mithin eine Gleichung (3) und mithin ein Gleichungssystem, dessen Lösungen die Spaltenvektoren b^>_j sind und diese "stehen" offensichtlich orthogonal auf den Lösungen z^>.
Ist (1) lösbar, so ist f^> eine Linearkombination der Spaltenvektoren b^>_j und da jede Lösung z^> orthogonal zu den b^>_j ist, ist mithin z^> auch orthogonal zu f^>, das beweist die Vorwärtsimplikation der Behauptung.
Sei nun angenommen, es existiert eine Lösung z^> von (2) mit z^> * f^> <> 0
dann kann f^> nicht im linearen Erzeugnis der b^>_j liegen, da die gegenteilige Annahme auf den Widerspruch
0 <> z^> * f^> = z^> * sum(x_j b^>_j,j) = sum(x_j (z^>*b^>_j),j) = 0
führt. Mithin muss
rang matrix(b_ij|f_i) > rang matrix(b_ij)
gelten und das Gleichungssystem (1) ist nicht lösbar, womit auch die umgekehrte Implikation der Behauptung bewiesen ist.
Bemerkung: Hat
matrix(b_ij) den vollen Rang, so ist \
(2) nur trivial lösbar, d.h. die Lösung von (1) ist eindeutig.
Sei
rang matrix(b_ij) =:k < n, so existieren n-k linear unabhängige Lösungen von (2) und die aus den Spaltenvektoren z^>_l ,l=1,...,n-k
gebildete Matrix matrix(z_li)
hat den Rang n-k.
Es existieren mithin k linear unabhängige Lösungen
b^>_1,..., b^>_(m-(m-k)=k)
von (3) entsprechend dem Spaltenrang und damit Rang von matrix(b_ij)
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