| |
| Autor |
  Maßtheorie (Borel)-meßbare Menge |
|
konvergiert
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 07.03.2013
Mitteilungen: 68
 |  Themenstart: 2022-11-06
|
Hallo Mitdenkende, ich habe die im folgenden Aufgabe zu loesen.
Ich habe leider 3 Wochen spaeter ins Semester einsteigen koennen und laß in den letzten Tagen alles ueber das Thema, als Skript.
An sich dachte ich nun gut Bescheid zu wissen, doch stelle ich mich der Aufgabe, bin ich ueberflutet von allen Beweisrichtungen im Einzelnen und mir faellt im Prinzip, das komplette Vorgehen ins Auge, sodass ich nicht sehe, welches zu zeigen nun offen bliebe, meine eigentliche Aufgabe ist.
Ergaenzend hierzu, ich werde einige weitere Threads oeffnen, bezueglich offener Fragen, Aufgaben.
Ich bin entsprechend fuer Ordnungshilfen und Richtlinien sehr dankbar!
Herangehensweise des Professors ueber Halbringe, Inhalt, Praemaß, auf Maß.
bekannt, Maßeindeutigkeit, Maßfortsetzung, Regularitaet von Lebesguemaß, Borelmaß als Restriktion zu Lebeguemaß, bzw. umgekehrt als Fortsetzung, ueber Schnitte mit Teilmengen einer Nullmenge. Definition aeußeres Maß, erst ueber Eigenschaften, dann als Konstruktion ueber Infimum, Lebesgue-Sigma-Algebra als Menge aller Cathedorymeßbaren Mengen.
Zur Aufgabe:
\(\text{Es bezeichne}\ \lambda\ \text{das Lebesgue-Maß auf}\ \mathbb{R}^{d}\ \text{Zeigen Sie:}\)
\(\text{(i) Fuer Jedes}\ \alpha\in[0,\infty]\ \exists\ \text{eine abgeschlossene, unbeschraenkte Borel-messbare-Menge}\\ A\subseteq\mathbb{R}^{d}\ \text{mit}\ \lambda(A)=\alpha\)
\(\text{(ii) Jede Lebesgue-messbare Menge}\ D\subseteq[0,1]^{d}\ \text{mit}\ \lambda(D)=1\ \text{liegt dicht in}\ [0,1]^{d}\)
zu(i)
Also ich habe mir grob folgendes Ueberlegt,
ich baue mir eine Menge, welche abgeschlossen, unbeschraenkt und eine Lebesgue-Nullmenge ist, und vereinige diese mit dem abgeschlossenen Intervall, bzw. Quader als Teilmenge aus der Borelsigmaalgebra, welcher das Maß alpha hat, und agumentiere dann, dass das Borelmaß translationsinvariant ist und ueber die Vereinigung mit allen Teilmengen der Lebesgue-Nullmengen zum Lebesguemaß vervollstandigt wird.
somit ist die Menge Borelmessbar mit dem Gewuenschten Maß.
Aber ist das nicht etwas zu wenig?
btw. fuer die Leere Menge gilt nach Konvention fuer aeußere Maße inf(leere Menge) gleich unendlich.
kann ich das ueberhaupt so machen? Wenn ja, klappe es mit der Vereinigung der [n,n] Intervalle mit \(n\in\mathbb{N}\), also Vereinigung der Einpunktmenge der natuerlichen Zahlen?
zu (ii)
Leider habe ich hier bisher kaum etwas, weil das klar ist. Der Abschluss von D als Teilmenge von den Quadern auf den Reelen Zahlen, sind maximal die Borelmessbaren abgeschlossenen reellen Quader, und mit dem Lebesgue-Maß von D gleich dem Volumen dieses reellen Quaders, kann der Abschluss dieser Menge D nicht kleiner sein als der genannte Quader.
Leider weiß ich in beiden Faellen noch nicht um eine konkrete Darstellung.
Vielen Dank im Vorraus in jedem Fall
konvergiert
|
 Profil
|
semasch
Senior 
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 445
Wohnort: Wien
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-07
|
Moin konvergiert,
zu (i): Da passt deine Idee grundsätzlich doch sehr gut. Für $\alpha < \infty$ funktioniert $A = [0,\alpha] \cup \mathbb{N}$, für $\alpha = \infty$ klappt $A = [0,\infty)$. Dass im Fall $\alpha = \infty$ die gewünschten Eigenschaften erfüllt sind, ist klar. Wie du richtig erkannt hast, ist $\mathbb{N} = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \{n\}$ eine abzählbare Vereinigung von Borel-messbaren Lebesgue-Nullmengen $\{n\} = [n,n]$ und daher wieder eine Borel-messbare Lebesgue-Nullmenge. Damit ist im Fall $\alpha < \infty$ die Menge $A$ Borel-messbar mit $\alpha = \lambda([0,\alpha]) \le \lambda(A) \le \lambda([0,\alpha]) + \lambda(\mathbb{N}) = \alpha + 0 = \alpha$, da ja $[0,\alpha] \subseteq A$. Überleg dir vielleicht noch, warum $\mathbb{N}$ abgeschlossen ist, dann hast du auch direkt die Abgeschlossenheit von $A$ als Vereinigung zweier abgeschlossener Mengen.
Zu (ii): Zeige, dass $[0,1]^d \setminus D$ eine Lebesgue-Nullmenge ist und als solche keine Kugel positiven Radius' z.B. bzgl. der Maximumsnorm, also keine Menge der Form $U = \prod_{i = 1}^d [x_i-r,x_i+r]$ mit $x := (x_1, \ldots, x_d) \in \mathbb{R}^d$ und $r > 0$ enthalten kann. Folgere daraus die Dichtheit von $D$ in $[0,1]^d$.
LG,
semasch
|
Profil
|
konvergiert
Wenig Aktiv
Dabei seit: 07.03.2013
Mitteilungen: 68
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-13
|
Vielen Dank! Ich habe es soweit zusammengefasst.
|
Profil
|
konvergiert hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
konvergiert hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
