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Analysis » Grenzwerte » Wie beweise ich dass sqrt(n) divergiert? für n gegen unendlich?
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Universität/Hochschule Wie beweise ich dass sqrt(n) divergiert? für n gegen unendlich?
Analysis_Simon
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  Themenstart: 2022-11-06

Hallo, wie beweise ich: \(lim_{n \to \infty} \sqrt(n) = \infty\)? Gruß :)


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-06

Hallo, du könntest annehmen, dass die Folge beschränkt ist und diese Annahme zum Widerspruch führen. Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Grenzwerte' von Diophant]


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Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
zippy
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-11-06

\quoteon(2022-11-06 18:56 - Diophant in Beitrag No. 1) du könntest annehmen, dass die Folge beschränkt ist und diese Annahme zum Widerspruch führen. \quoteoff Daraus würde folgen, dass $n\mapsto\sqrt n$ unbeschränkt ist. Dass ist aber weniger als $\lim_{n\to\infty}\sqrt n=\infty$. --zippy


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-11-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) @zippy: \quoteon(2022-11-06 19:01 - zippy in Beitrag No. 2) \quoteon(2022-11-06 18:56 - Diophant in Beitrag No. 1) du könntest annehmen, dass die Folge beschränkt ist und diese Annahme zum Widerspruch führen. \quoteoff Daraus würde folgen, dass $n\mapsto\sqrt n$ unbeschränkt ist. Dass ist aber weniger als $\lim_{n\to\infty}\sqrt n=\infty$. \quoteoff Darf man die Monotonieeigenschaft der Wurzelfunktion an dieser Stelle nicht verwenden? Falls nein, zeigt man die eben auch noch. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Analysis_Simon
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-06

\quoteon(2022-11-06 18:56 - Diophant in Beitrag No. 1) Hallo, du könntest annehmen, dass die Folge beschränkt ist und diese Annahme zum Widerspruch führen. Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Grenzwerte' von Diophant] \quoteoff Danke, ich habe jetzt gezeigt, dass jedes Folgeglied größer als das vorherige wird und somit in der Unendlichkeit divergiert. Somit schaue ich mir die ersten Folgeglieder an und zeige dass es gegen +\( \infty\) divergiert. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-11-06

\quoteon(2022-11-06 19:07 - Analysis_Simon in Beitrag No. 4) ich habe jetzt gezeigt, dass jedes Folgeglied größer als das vorherige wird und somit in der Unendlichkeit divergiert. \quoteoff Diese Schlussforlgerung ist aber für sich alleine falsch. Wenn eine Folge monoton wächst, heißt das noch lange nicht, dass sie divergent ist. Du musst schon irgendwie nachweisen, dass die Folge auch unbeschränkt ist. Gruß, Diophant


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zippy
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-11-06

\quoteon(2022-11-06 19:06 - Diophant in Beitrag No. 3) Darf man die Monotonieeigenschaft der Wurzelfunktion an dieser Stelle nicht verwenden? \quoteoff Das darf man sicher, aber davon war in Beitrag Nr. 1 nicht die Rede.


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Wario
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-11-06

Vielleicht hilft das hier weiter. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


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zippy
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-11-06

\quoteon(2022-11-06 19:16 - Wario in Beitrag No. 7) Vielleicht hilft das hier weiter. \quoteoff Dass $n\mapsto\sqrt n$ nicht konvergiert, ist weniger als die zu zeigende Aussage, dass diese Folge bestimmt gegen $\infty$ divergiert. Die Aussagen "$n\mapsto\sqrt n$ ist unbeschränkt" und "$n\mapsto\sqrt n$ konvergiert nicht" sind notwendige, aber nicht hinreichende Bedingungen für $\sqrt n\to\infty$.


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Kuestenkind
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-11-06

Huhu Simon, das geht doch auch einfach über die Definition. Siehe z. B. 2.7.4 hier. Falls du noch \(N\in\mathbb{N}\) sicherstellen möchtest, denke eben an die Aufrundungsfunktion. Gruß, Küstenkind


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Wario
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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-11-07

Er soll also zeigen, dass $a_n =\sqrt{n}$ bestimmt divergent (strikt divergent, uneigentlich konvergent) gegen $+\infty$ ist. Dann irgendwie so (sofern ich das richtig aufgeschrieben habe): Sei $\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1\right\rceil} r\in\mathbb{R}_{\geq 0};$ setze $n_0 :=\ceil{r^2};$ dann ist $\newcommand\I{\sqrt{n_0}\vphantom{\II}} \newcommand\Iu{=\sqrt{\ceil{r^2}}} \newcommand\II{ \sqrt{r^2}\vphantom{\sqrt{n_0}} } \newcommand\IIu{=|r|\vphantom{\Iu}} a_n =\sqrt{n} \geq \underbrace{\I}_{\Iu} \geq \underbrace{\II}_{\IIu}$ womit $a_n =\sqrt{n}$ größer als jede vorgegebene Schranke $r$ wird, also gegen $+\infty$ divergiert.


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Wario
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-11-07

Ich weiß nicht, was da das Übliche ist, aber vermutlich muss man insg. zeigen für $a_n=\sqrt{n}$: 1) monoton 2) divergent (unbeschränkt) 3) bestimmt divergent


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