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| Autor |
 Inverse von Frobeniusmatrizen |
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Dianaaa_98
Neu 
Dabei seit: 07.11.2022
Mitteilungen: 2
 |  Themenstart: 2022-11-07
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Hallo,
ich soll zeigen, dass das Inverse einer Frobeniusmatrix auch eine Frobeniusmatrix ist. Ich weiß, wie die Inversen einer Frobeniusmatrix aussieht und weiß auch, dass das Produkt der beiden Matrizen eben die Einheitsmatrix ist. Allerdings kommt mir das etwas komisch vor zu sagen: "Das hier ist auch eine Frobeniusmatrix und wir zeigen jetzt, dass das Produkt von dieser Matrix und der ursprünglichen Frobeniusmatrik gleich der Identitätsmatrix ist."
Für eine Frobeniusmatrix gilt ja, dass \(F^{-1}=I-(F-I)\). Also werden einfach die Vorzeichen der Elemente unterhalb der Diagonalen, die nicht Null sind vertauscht. Dass das dann eine Frobeniusmatrix ist, ist ja klar. Ich weiß nur leider überhaubt nicht, wie ich das zeigen kann.
Ich würde mich sehr über Tipps und Anregungen freuen.
LG Diana
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StrgAltEntf
Senior 
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8200
Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-07
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Hallo Dianaaa_98,
willkommen auf dem Matheplaneten!
\quoteon(2022-11-07 16:47 - Dianaaa_98 im Themenstart)
Für eine Frobeniusmatrix gilt ja, dass \(F^{-1}=I-(F-I)\). Also werden einfach die Vorzeichen der Elemente unterhalb der Diagonalen, die nicht Null sind vertauscht. Dass das dann eine Frobeniusmatrix ist, ist ja klar. Ich weiß nur leider überhaubt nicht, wie ich das zeigen kann.
\quoteoff
Ich verstehe nicht ganz, wo jetzt das Problem ist. Wenn es "ja klar" ist, was willst du dann noch zeigen?
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Dianaaa_98
Neu
Dabei seit: 07.11.2022
Mitteilungen: 2
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-07
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Achso sorry, da hab ich mich vielleicht falsch ausgedrückt. Also ich möchte zeigen, dass \(F^{-1}=I-(F-I)\) gilt und nicht, dass dies eine Frobeniusmatrix ist.
Das diese Gleichung gilt das steht so auf Wikipedia. Ich kann das aber in meinem Übungsblatt nicht ohne Beweis verwenden.
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8200
Wohnort: Milchstraße
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-11-07
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Ich würde die beiden Matrizen ausmultiplizieren.
Sei $F=(a_{ij})_{i,j=1,...,n}$. Dann ist $a_{ii}=1$ für $i=1,...,n$, und es gibt ein $j_0$, sodass $a_{ij}=0$ für $i\neq j$ und ($j\neq j_0$ oder $j>i$).
Für die Matrix $G=(b_{ij})_{i,j=1,...,n}$, von der zu zeigen ist, dass es die Inverse von $F$ ist, gilt dann $b_{ii}=1$ für $i=1,...,n$ und $b_{ij}=-a_{ij}$ für $i\neq j$.
Berechne nun $H=FG=(c_{ij})_{i,j=1,...,n}$. Es gilt $c_{ij}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}$.
Zeige $c_{ii}=1$ für $i=1,...,n$ und $c_{ij}=0$ für $i\neq j$.
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4422
 | Beitrag No.4, eingetragen 2022-11-07
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Es ist leicht zu zeigen, dass $(F-I)^2=0$ gilt. Daraus folgt alles Weitere.
Die in dem Wikipedia-Artikel genannte Formel für $F^k$ mit $k\in\mathbb Z$ ergibt sich beispielsweise aus der binomischen Reihe, in der nur die ersten beiden Summanden nicht verschwinden:$$
F^k = \bigl[I+(F-I)\bigr]^k =
I+{k\choose1}\,(F-I)+{k\choose2}\,(F-I)^2+\cdots = I + k\,(F-I)
$$Für den Spezialfall $k=-1$ kannst du alternativ auch$$
0=(F-I)^2=F^2-2F+I=-F\,(2I-F)+I
$$benutzen, um daraus $F^{-1}=2I-F=I-(F-I)$ abzulesen.
--zippy
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