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Physik » Elektrodynamik » Helmholtz-Theorem und ebene Wellen
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Universität/Hochschule J Helmholtz-Theorem und ebene Wellen
Mandacus
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Mitteilungen: 221
  Themenstart: 2022-11-07

Hallo, ich habe leider ein Problem mit einer Aufgabe zur Helmholtz-Zerlegung. https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/46688_Helmholtz1.jpg https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/46688_Helmholtz2.jpg Mein Problem liegt bei c). Ich habe es geschafft unter Benutzung des Helmholtz-Theorems und der Rechnenregeln für Kreuzprodukte und Differentialoperatoren zu zeigen, dass $$ \vec{V}^l(\vec{r}) =\sum_{\vec{k}} \left[ \frac{\vec{k} \cdot \vec{V}_{\vec{k}}}{k^2} \vec{k} e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} + \frac{i (\vec{V}_{\vec{k}} \cdot \vec{k})}{4 \pi} \int d^3 r' \nabla_{\vec{r}'} \frac{e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}'} } {|\vec{r}-\vec{r}'|} \right] $$ und $$ \vec{V}^t(\vec{r}) =\sum_{\vec{k}} \left[ -\frac{\vec{k} \times (\vec{k} \times \vec{V}_{\vec{k}})}{k^2} e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} + \frac{i}{4 \pi} \int d^3 r' \nabla_{\vec{r}'} \times \left(\frac{\vec{V}_{\vec{k}} \times \vec{k} e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}'} } {|\vec{r}-\vec{r}'|} \right) \right] $$ was dem gewünschten Ergebnis bereits ähnelt. Allerdings müssten die Integralterme verschwinden um die Rechnung abzuschließen und ich habe leider Probleme damit zu argumentieren, dass sie das tun. Bei dem ersten Integral kann man sagen, dass hier ein Gradientenfeld integriert wird, was bei einem geschlossenen Kurvenintegral das Verschwinden des Integrals bedeuten würde. Aber das ist hier ja nicht unbedingt gegeben, daher sehe ich leider nicht, wie man hier weiter vorgehen kann.


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semasch
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-08

Moin Mandacus, ohne deine bisherigen Rechnungen nachgeprüft zu haben, kann man im Weiteren wie folgt vorgehen: Zunächst mal ist \[ \sum_{\vec{k}} \frac{i (\vec{V}_{\vec{k}} \cdot \vec{k})}{4 \pi} \int d^3 r' \nabla_{\vec{r}'} \frac{e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}'}}{|\vec{r}-\vec{r}'|} \\ = \frac{1}{4 \pi} \int d^3 r' \nabla_{\vec{r}'} \frac{\sum_{\vec{k}} \vec{V}_{\vec{k}} \cdot i\vec{k} e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}'}}{|\vec{r}-\vec{r}'|} \\ = \frac{1}{4 \pi} \int d^3 r' \nabla_{\vec{r}'} \frac{\nabla_{\vec{r}'} \cdot \vec{V}(\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|} = (*). \] In Indexschreibweise und mit Summenkonvention kann man nun den Integranden des verbleibenden Integrals leicht als Divergenz eines Tensorfeldes identifizieren: \[ (*) = \frac{1}{4 \pi} \int d^3 r' \nabla_{\vec{r}'} \frac{\nabla_{\vec{r}'} \cdot \vec{V}(\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|} \\ = \frac{1}{4 \pi} \int d^3 r' \partial_{x'_j} \left(\frac{\nabla_{\vec{r}'} \cdot \vec{V}(\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|}\right) \\ = \frac{1}{4 \pi} \int d^3 r' \partial_{x'_i} \left(\delta_{ij} \frac{\nabla_{\vec{r}'} \cdot \vec{V}(\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|}\right) \\ = \frac{1}{4 \pi} \int d^3 r' \partial_{x'_i} T_{ij}(\vec{r}') = (**), \] wobei \[ T_{ij}(\vec{r}') := \delta_{ij} \frac{\nabla_{\vec{r}'} \cdot \vec{V}(\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|}. \] Mit dem Satz von Gauß kann man das dann in ein Flussintegral umschreiben, dass wegen des stark abfallenden Charakters des gegebenen Vektrofeldes $\vec{V}$, der sich auf das Tensorfeld $T$ vererbt, verschwindet: \[ (**) = \frac{1}{4 \pi} \lim_{R \to \infty} \int_{\partial B_R(0)} d^2 f_i(\vec{r}') T_{ij}(\vec{r}') = 0. \] Analog ist mit dem zweiten Term, der verschwinden soll, umzugehen. LG, semasch


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