Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von nzimme10
Differentiation » Taylorentwicklungen » Restgliedabschätzung der Taylorreihe von √(1+x)
Autor
Universität/Hochschule J Restgliedabschätzung der Taylorreihe von √(1+x)
Cyborg
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 20.05.2009
Mitteilungen: 675
  Themenstart: 2022-11-09

Hallo, Leute! Folgendes Bild: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/26086_4_Frage.jpg Meine Frage: Ich brauche für die Konvergenz des Restgliedes gegen $0$, dass $\left|\dfrac{x}{1+\xi}\right|^n$ für $n\rightarrow\infty$ konvergiert. Das ist genau dann der Fall, wenn $\left|\dfrac{x}{1+\xi}\right|<1$ gilt. Ich konnte zeigen, dass aus $\left|\dfrac{x}{1+\xi}\right|<1$ folgt $|x|<1$. ABER: Wenn $|x|<1$, dann folgt nicht unbedingt $\left|\dfrac{x}{1+\xi}\right|<1$. Gegenbeispiel: $\left|\dfrac{|x|}{1-0,5\cdot|x|}\right|$ ist für $x=-0,9$ größer $1$??? Was mache ich falsch???? Bei Derive sieht man, dass die Taylorreihe für $|x|<1$ konvergiert!!


   Profil
Cyborg
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 20.05.2009
Mitteilungen: 675
  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-09

Ist das bei der Lagrange'schen Restgliedformel vielleicht wichtig, dass $x$ nur rechts vom Entwicklungspunkt $x_0=0$ liegt???


   Profil
Cyborg
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 20.05.2009
Mitteilungen: 675
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-09

Also wenn $x\in(0,1)$ ist, ist die Konvergenz gezeigt. Warum konvergiert das Restglied aber nicht für $x\in (-1,0)$ ???


   Profil
Cyborg
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 20.05.2009
Mitteilungen: 675
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-09

Ich habe eben herausgefunden, dass man die Konvergenz der Taylorreihe von $f(x)=\sqrt{1+x}$ auf $(-1,1)$ mit dem Quotientenkriterium beweisen kann, wo man die Restgliedformel nicht braucht! Danke.


   Profil
Cyborg
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 20.05.2009
Mitteilungen: 675
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-10

Mit dem Quotientenkriterium folgt aber nicht, dass die Reihe auch gegen $f$ konvergiert. Frage bleibt also bestehen: Wie zeigt man, dass das Resglied auf (-1,1) gegen $0$ konvergiert??


   Profil
Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9648
Wohnort: Dortmund, Old Europe
  Beitrag No.5, eingetragen 2022-11-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Das Lagrange-Restglied ist bequem, aber nicht sonderlich genau. Mit einem Restglied in Integralform (Cauchy-Restglied) hat man bessere Ergebnisse. Beispiel: für \( f(x)=\ln(1-\frac{x}{2})\) bekommt man mit Lagrange Konvergenz auf \( ]-2,1[\), mit Cauchy auf \( ]-2,2[\). Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


   Profil
Cyborg
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 20.05.2009
Mitteilungen: 675
  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-10

Hallo, Wally! Meinst du das: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/26086_Frage2.jpg Oder meinst du das: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/26086_Frage3.jpg Ich habe schon mit der Integralform gearbeitet: Das Integral mit partieller Integration in eine Reihe zu entwicklen und diese abschätzen. Gibt es denn keinen schnellen Weg, die Konvergenz auf $(-1,1)$ zu beweisen??


   Profil
Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9648
Wohnort: Dortmund, Old Europe
  Beitrag No.7, eingetragen 2022-11-10

Ich meine die zweite Form, und ich kenne keinen schnelleren elmentaren Weg. Du kannst alternativ benutzen, dass die Funktion in einem Kreis mit Radius 1 um Null holomorph ist und daher in eine Potenzreihe entwickelt werden kann, aber das ist wohl nicht, was du suchst. Viele Grüße Wally


   Profil
Cyborg
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 20.05.2009
Mitteilungen: 675
  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-10

Hallo, Wally! Also wenn mit der Potenzreihe auch gezeigt ist, dass sie auch gegen $f$ konvergiert, benutze ich lieber Funktionentheorie. Ich meine in Funktionentheorie gelesen zu haben dass für Potenzreihen gerade die Taylorreihen benutzt werden.


   Profil
Cyborg
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 20.05.2009
Mitteilungen: 675
  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-10

Ich habe mal in mein Funktionentheoriebuch geguckt. Du meinst wohl das Entwicklungslemma!


   Profil
Cyborg
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 20.05.2009
Mitteilungen: 675
  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-11

Ich hätte gerne die Konvergenz der Taylorreihe von $f(x)=\sqrt{1+x}$ durch Zeigen, dass das Restglied in Integralform gegen $0$ konvergiert! Es gilt: $f^{(k+1)}(t)=\dfrac{(-1)^k}{2^{k+1}}\cdot\left(\prod\limits_{i=1}^k 2i-1\right)\cdot(1+t)^{-\frac{2k+1}{2}}$ Das Restglied ist: $\displaystyle R_{k+1}(x,0)=\dfrac{1}{k!}\cdot\int_{0}^x (x-t)^k\cdot f^{(k+1)}(t)\,dt$ Was ich habe: $\displaystyle |R_{k+1}(x,0)|\leq \dfrac{1}{k!}\cdot\int_{0}^x |x-t|^k\cdot |f^{(k+1)}(t)|\,dt$ $|f^{(k+1)}(t)|=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\prod\limits_{i=1}^k i-\dfrac{1}{2}\right)\cdot|1+t|^{-\frac{2k+1}{2}}\leq 1\cdot k! \cdot|1+t|^{-\frac{2k+1}{2}}\leq k!\cdot|1+t|^{-\frac{2k+1}{2}}$ Also: $\displaystyle |R_{k+1}(x,0)|\leq \int_{0}^x |x-t|^k\cdot |1+t|^{-\frac{2k+1}{2}}\,dt$ WIE geht es weiter??? Ich muss irgenwann benutzen, dass $|x|<1$. Ich habe mit Derive geplottet und gesehen, dass $\displaystyle \int_{0}^x |x-t|^k\cdot |1+t|^{-\frac{2k+1}{2}}$ auf (-1,1) gegen $0$ konvergiert für größer werdende $k$. Ich versuche zu zeigen, dass gilt: $\lim\limits_{k\rightarrow\infty}|x-t|^k\cdot |1+t|^{-\frac{2k+1}{2}}=0$, wenn $|x|<1$, also $|t|<|x|<1$. Ich freue mich über jede Hilfe!


   Profil
Cyborg
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 20.05.2009
Mitteilungen: 675
  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-11

\quoteon(2022-11-11 11:33 - Cyborg in Beitrag No. 10) Ich hätte gerne die Konvergenz der Taylorreihe von $f(x)=\sqrt{1+x}$ durch Zeigen, dass das Restglied in Integralform gegen $0$ konvergiert! Es gilt: $f^{(k+1)}(t)=\dfrac{(-1)^k}{2^{k+1}}\cdot\left(\prod\limits_{i=1}^k 2i-1\right)\cdot(1+t)^{-\frac{2k+1}{2}}$ Das Restglied ist: $\displaystyle R_{k+1}(x,0)=\dfrac{1}{k!}\cdot\int_{0}^x (x-t)^k\cdot f^{(k+1)}(t)\,dt$ Was ich habe: $\displaystyle |R_{k+1}(x,0)|\leq \dfrac{1}{k!}\cdot\int_{0}^x |x-t|^k\cdot |f^{(k+1)}(t)|\,dt$ $|f^{(k+1)}(t)|=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\prod\limits_{i=1}^k i-\dfrac{1}{2}\right)\cdot|1+t|^{-\frac{2k+1}{2}}\leq 1\cdot k! \cdot|1+t|^{-\frac{2k+1}{2}}\leq k!\cdot|1+t|^{-\frac{2k+1}{2}}$ Also: $\displaystyle |R_{k+1}(x,0)|\leq \int_{0}^x |x-t|^k\cdot |1+t|^{-\frac{2k+1}{2}}\,dt$ WIE geht es weiter??? Ich muss irgenwann benutzen, dass $|x|<1$. Ich habe mit Derive geplottet und gesehen, dass $\displaystyle \int_{0}^x |x-t|^k\cdot |1+t|^{-\frac{2k+1}{2}}$ auf (-1,1) gegen $0$ konvergiert für größer werdende $k$. Ich versuche zu zeigen, dass gilt: $\lim\limits_{k\rightarrow\infty}|x-t|^k\cdot |1+t|^{-\frac{2k+1}{2}}=0$, wenn $|x|<1$, also $|t|<|x|<1$. Ich freue mich über jede Hilfe! \quoteoff Sei $|x|<1$. 1. Fall $x>0$, also $0-t>-x$, also $1>x>x-t>0$, also $0-x>-t>0$, also $0>x-t>x>-1$, also $0>x-t>-1$, also $|x-t|<1$. Wegen $-1


   Profil
Cyborg
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 20.05.2009
Mitteilungen: 675
  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-11

Ich hätte noch gerne euren Segen, dass alles OK ist. Traut euch ruhig was zu schreiben.


   Profil
Cyborg hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Cyborg hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]