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  Restgliedabschätzung der Taylorreihe von √(1+x) |
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Cyborg
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 |  Themenstart: 2022-11-09
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Hallo, Leute!
Folgendes Bild:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/26086_4_Frage.jpg
Meine Frage:
Ich brauche für die Konvergenz des Restgliedes gegen $0$, dass
$\left|\dfrac{x}{1+\xi}\right|^n$ für $n\rightarrow\infty$ konvergiert.
Das ist genau dann der Fall, wenn $\left|\dfrac{x}{1+\xi}\right|<1$ gilt.
Ich konnte zeigen, dass aus $\left|\dfrac{x}{1+\xi}\right|<1$ folgt $|x|<1$.
ABER: Wenn $|x|<1$, dann folgt nicht unbedingt $\left|\dfrac{x}{1+\xi}\right|<1$.
Gegenbeispiel: $\left|\dfrac{|x|}{1-0,5\cdot|x|}\right|$ ist für
$x=-0,9$ größer $1$???
Was mache ich falsch????
Bei Derive sieht man, dass die Taylorreihe für $|x|<1$ konvergiert!!
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Cyborg
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|  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-09
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Ist das bei der Lagrange'schen Restgliedformel vielleicht wichtig, dass
$x$ nur rechts vom Entwicklungspunkt $x_0=0$ liegt???
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Cyborg
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-09
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Also wenn $x\in(0,1)$ ist, ist die Konvergenz gezeigt.
Warum konvergiert das Restglied aber nicht für $x\in (-1,0)$ ???
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Cyborg
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-09
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Ich habe eben herausgefunden, dass man die Konvergenz der Taylorreihe von $f(x)=\sqrt{1+x}$ auf $(-1,1)$ mit dem Quotientenkriterium beweisen kann, wo man die Restgliedformel nicht braucht!
Danke.
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Cyborg
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-10
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Mit dem Quotientenkriterium folgt aber nicht, dass die Reihe auch gegen $f$ konvergiert.
Frage bleibt also bestehen:
Wie zeigt man, dass das Resglied auf (-1,1) gegen $0$ konvergiert??
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Wally
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 | Beitrag No.5, eingetragen 2022-11-10
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Das Lagrange-Restglied ist bequem, aber nicht sonderlich genau.
Mit einem Restglied in Integralform (Cauchy-Restglied) hat man bessere Ergebnisse.
Beispiel: für \( f(x)=\ln(1-\frac{x}{2})\) bekommt man mit Lagrange Konvergenz auf \( ]-2,1[\), mit Cauchy auf \( ]-2,2[\).
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
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Cyborg
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-10
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Hallo, Wally!
Meinst du das:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/26086_Frage2.jpg
Oder meinst du das:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/26086_Frage3.jpg
Ich habe schon mit der Integralform gearbeitet: Das Integral mit partieller Integration in eine Reihe zu entwicklen und diese abschätzen.
Gibt es denn keinen schnellen Weg, die Konvergenz auf $(-1,1)$ zu beweisen??
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Wally
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| Beitrag No.7, eingetragen 2022-11-10
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Ich meine die zweite Form, und ich kenne keinen schnelleren elmentaren Weg.
Du kannst alternativ benutzen, dass die Funktion in einem Kreis mit Radius 1 um Null holomorph ist und daher in eine Potenzreihe entwickelt werden kann, aber das ist wohl nicht, was du suchst.
Viele Grüße
Wally
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Cyborg
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-10
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Hallo, Wally!
Also wenn mit der Potenzreihe auch gezeigt ist, dass sie auch gegen $f$ konvergiert, benutze ich lieber Funktionentheorie.
Ich meine in Funktionentheorie gelesen zu haben dass für Potenzreihen gerade die Taylorreihen benutzt werden.
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Cyborg
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-10
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Ich habe mal in mein Funktionentheoriebuch geguckt.
Du meinst wohl das Entwicklungslemma!
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Cyborg
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-11
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Ich hätte gerne die Konvergenz der Taylorreihe von $f(x)=\sqrt{1+x}$ durch Zeigen, dass das Restglied in Integralform gegen $0$ konvergiert!
Es gilt:
$f^{(k+1)}(t)=\dfrac{(-1)^k}{2^{k+1}}\cdot\left(\prod\limits_{i=1}^k 2i-1\right)\cdot(1+t)^{-\frac{2k+1}{2}}$
Das Restglied ist:
$\displaystyle R_{k+1}(x,0)=\dfrac{1}{k!}\cdot\int_{0}^x (x-t)^k\cdot f^{(k+1)}(t)\,dt$
Was ich habe:
$\displaystyle |R_{k+1}(x,0)|\leq \dfrac{1}{k!}\cdot\int_{0}^x |x-t|^k\cdot |f^{(k+1)}(t)|\,dt$
$|f^{(k+1)}(t)|=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\prod\limits_{i=1}^k i-\dfrac{1}{2}\right)\cdot|1+t|^{-\frac{2k+1}{2}}\leq 1\cdot k! \cdot|1+t|^{-\frac{2k+1}{2}}\leq k!\cdot|1+t|^{-\frac{2k+1}{2}}$
Also:
$\displaystyle |R_{k+1}(x,0)|\leq \int_{0}^x |x-t|^k\cdot |1+t|^{-\frac{2k+1}{2}}\,dt$
WIE geht es weiter???
Ich muss irgenwann benutzen, dass $|x|<1$.
Ich habe mit Derive geplottet und gesehen, dass $\displaystyle \int_{0}^x |x-t|^k\cdot |1+t|^{-\frac{2k+1}{2}}$ auf (-1,1) gegen $0$ konvergiert für größer werdende $k$.
Ich versuche zu zeigen, dass gilt:
$\lim\limits_{k\rightarrow\infty}|x-t|^k\cdot |1+t|^{-\frac{2k+1}{2}}=0$, wenn $|x|<1$, also $|t|<|x|<1$.
Ich freue mich über jede Hilfe!
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Cyborg
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-11
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\quoteon(2022-11-11 11:33 - Cyborg in Beitrag No. 10)
Ich hätte gerne die Konvergenz der Taylorreihe von $f(x)=\sqrt{1+x}$ durch Zeigen, dass das Restglied in Integralform gegen $0$ konvergiert!
Es gilt:
$f^{(k+1)}(t)=\dfrac{(-1)^k}{2^{k+1}}\cdot\left(\prod\limits_{i=1}^k 2i-1\right)\cdot(1+t)^{-\frac{2k+1}{2}}$
Das Restglied ist:
$\displaystyle R_{k+1}(x,0)=\dfrac{1}{k!}\cdot\int_{0}^x (x-t)^k\cdot f^{(k+1)}(t)\,dt$
Was ich habe:
$\displaystyle |R_{k+1}(x,0)|\leq \dfrac{1}{k!}\cdot\int_{0}^x |x-t|^k\cdot |f^{(k+1)}(t)|\,dt$
$|f^{(k+1)}(t)|=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\prod\limits_{i=1}^k i-\dfrac{1}{2}\right)\cdot|1+t|^{-\frac{2k+1}{2}}\leq 1\cdot k! \cdot|1+t|^{-\frac{2k+1}{2}}\leq k!\cdot|1+t|^{-\frac{2k+1}{2}}$
Also:
$\displaystyle |R_{k+1}(x,0)|\leq \int_{0}^x |x-t|^k\cdot |1+t|^{-\frac{2k+1}{2}}\,dt$
WIE geht es weiter???
Ich muss irgenwann benutzen, dass $|x|<1$.
Ich habe mit Derive geplottet und gesehen, dass $\displaystyle \int_{0}^x |x-t|^k\cdot |1+t|^{-\frac{2k+1}{2}}$ auf (-1,1) gegen $0$ konvergiert für größer werdende $k$.
Ich versuche zu zeigen, dass gilt:
$\lim\limits_{k\rightarrow\infty}|x-t|^k\cdot |1+t|^{-\frac{2k+1}{2}}=0$, wenn $|x|<1$, also $|t|<|x|<1$.
Ich freue mich über jede Hilfe!
\quoteoff
Sei $|x|<1$.
1. Fall $x>0$, also $0-t>-x$, also $1>x>x-t>0$,
also $0-x>-t>0$, also $0>x-t>x>-1$, also $0>x-t>-1$, also $|x-t|<1$. Wegen $-1
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Cyborg
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|  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-11
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Ich hätte noch gerne euren Segen, dass alles OK ist.
Traut euch ruhig was zu schreiben.
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Cyborg hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Cyborg hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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