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| Autor |
 DGL und Monotonie |
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robytoby61
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 14.05.2020
Mitteilungen: 46
 |  Themenstart: 2022-11-09
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Hallo zusammen,
ich sitze gerade schon seit Ewigkeiten vor meinem Übungsblatt zur DGL und komme auf keinen grünen Zweig. Jetzt wollte ich mal in die Runde fragen, ob mir jemand einen Tipp geben kann wo und wie ich anfangen kann.
Ich habe folgenden Aufgabe:
Sei \(\Phi:[0,+\infty ]\to \mathbb R \) eine stetige und zweimal diff'bare Funktion mit Eigenschaft \( \Phi'(0)=0 \wedge \Phi''(t)\leq -3*\Phi'(t) \)
Zeigen soll ich jetzt "nur" das Phi monoton fällt.
Vielen Dank schonmal für Eure Tipps
edit: Tippfehler
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haerter
Senior 
Dabei seit: 07.11.2008
Mitteilungen: 1735
Wohnort: Bochum
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-10
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Hallo robytoby61,
wie wäre es mit einem Widerspruchsbeweis: Angenommen $\Phi'(t_0)>0$, dann wäre ja $\Phi''(t_0)<0$. Was würde daraus folgen für das Verhalten von $\Phi$ links von $t_0$?
Das ist jetzt natürlich noch kein Beweis (und vielleicht gibt es auch ein einfacheres Argument, das ich gerade nicht sehe), aber daraus kann man relativ sicher einen formal korrekten Widerspruch konstruieren.
Viele Grüße,
haerter
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Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9727
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.2, eingetragen 2022-11-10
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo,
du könntest \( u=\Phi'\) setzen, die Dgl. für \( u\) in eine Integralungleichung umschreiben und Gronwall anwenden.
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
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robytoby61
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 14.05.2020
Mitteilungen: 46
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-10
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Hallo Zusammen, vielen Dank für Eure Tipps. Ich habe mich heute Nachmittag nochmal an die Aufgabe gemacht.
Wie Wally meinte hab ich versucht Gronwall anzuwenden. Leider ist in unserer Version hier die Rede von einer positiven Abbildung im Integral, was mit -3 meines Erachtens nicht gegeben ist.
Dafür hatten wir aber eine andere Formulierung im Abschnitt davor die wir "Urform des Gronwallschen Lemmas" nennen (die ich übersehen hab, da es kein eigener Satz ist🙃)
In aller Kürze lautet dieses:
\( x: \mathbb R \to \mathbb R \) stetig diffbar, erfülle die Abschätzung: \( x'(t)\leq b*x(t)+a(t) \) mit \( b\in\mathbb R \) konstant und \( a: \mathbb R \to \mathbb R \Rightarrow x(t)\leq exp(b(t-t_0))x(t_0)+\int_{t_0}^t exp(b(t-s))a(s)ds\)
Damit hab ich ja ziemlich schnell meine Monotonie gezeigt. Wenn ich bei mir in der Aufgabe \( t_0 =0 , b=-3 \) und a(t) als die Nullabbildung
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