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| Autor |
 Kettenabbildung in relativer simplizialer Homologie |
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ElizabethChanler
Neu 
Dabei seit: 10.11.2022
Mitteilungen: 1
 |  Themenstart: 2022-11-10
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Hallo,
sei $f: (X,A)\to (Y,B)$ eine stetige Abbildung.
Ich möchte nachrechnen, dass
$f_\ast: (C_\ast(X,A;R),\delta)\to (C_\ast(Y,B;R),\beta)$ eine Kettenabbildung ist.
Dazu ist ja zu zeigen, dass $\beta_n\circ f_n=f_{n-1}\circ\delta_n:C_n(X,A;R)\to C_{n-1}(Y,B;R)$.
Ich wollte einfach beide Seiten explizit ausrechnen.
Mache ich dabei etwas falsch?
Es ist $\beta_n(f_n(c+C_n(A;R)))=\beta_n(f_n(c)+C_n(B;R))=\beta_n(f_n(c))+C_{n-1}(B;R)$
und
$f_{n-1}(\delta_n(c+C_n(A;R)))=f_{n-1}(\delta_n(c)+C_{n-1}(A;R))=f_{n-1}(\delta_n(c))+C_{n-1}(B;R)$
Woher wissen wir nun, dass $f_{n-1}(\delta_n(c))=\beta_n(f_n(c))$?
Ich sehe gerade, dass für stetiges $f: X\to Y$ die Abbildungen
$f_\ast: C_n(X,R)\to C_{n-1}(Y,R)$ Kettenabbildungen liefern (für singuläre Kettenkomplexe).
Darauf müsste dann die Gleichheit ja basieren, weil $c\in C_n(X;R)$ ist, nicht wahr?
Ich freue mich über Kommentare.
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 Profil
| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
Mandelbluete
Senior 
Dabei seit: 03.05.2008
Mitteilungen: 582
Wohnort: Fuchsbau
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-11
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\eps}{\varepsilon} \)
Huhu!
Du hast recht. Es ist nicht schwer zu sehen. Es genügt, ein singuläres $q$-Simplex $c : \Delta_n \to X$ zu betrachten. Elemente von $C_n(X;R)$ sind $R$-Linearkombinationen von solchen. Dann ist
\[
f_{n-1} \circ \delta_n(c) = \sum_{i=0}^n(-1)^i \cdot (f \circ c) \circ d_n^i = \beta_n \circ f_n(c),
\]
wobei $d_n^i \colon \Delta_{n-1} \to \Delta_n$ die $n+1$ Seitenoperatoren sind. Der Randoperator $\beta$ sieht genauso aus wie $\delta$. \(\endgroup\)
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PhysikRabe
Senior 
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 2883
Wohnort: Rabennest
 | Beitrag No.2, eingetragen 2022-11-12
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\quoteon(2022-11-10 06:28 - ElizabethChanler im Themenstart)
Ich sehe gerade, dass für stetiges $f: X\to Y$ die Abbildungen
$f_\ast: C_n(X,R)\to C_{n-1}(Y,R)$ Kettenabbildungen liefern (für singuläre Kettenkomplexe).
Darauf müsste dann die Gleichheit ja basieren, weil $c\in C_n(X;R)$ ist, nicht wahr?
\quoteoff
Das ist richtig, wie Mandelbluete bereits ausgeführt hat. Nur ein kleiner Tipp von mir, aber vielleicht machst du das ohnehin schon so: Bei solchen Rechnungen kann es hilfreich sein (gerade wenn man sich nicht ganz sicher ist), die auftretenden Kettenkomplexe bzw. einen relevanten Teil davon als Diagramm aufzuzeichnen, um sich bewusst zu machen, welche Quadrate kommutieren sollten. Dadurch erhält man einen Überblick sowie eine graphische Darstellung der Situation. In komplizierteren Fällen hilft das auch bei der "Buchführung" in Diagrammjagden.
Grüße,
PhysikRabe
[Verschoben aus Forum 'Topologie' in Forum 'Algebraische Topologie' von PhysikRabe]
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