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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Basis finden, sodass die Darstellungsmatrix bezgl. dieser Basen gegeben ist
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Universität/Hochschule J Basis finden, sodass die Darstellungsmatrix bezgl. dieser Basen gegeben ist
nDawn
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  Themenstart: 2022-11-14

Hey Forum, Ich hänge leider wieder einmal... Ich finde keinen Ansatz der für mich Sinn macht an diese Aufgabe heranzugehen, obwohl es leicht für mich wäre die Darstellungsmatrix bezgl. zwei gegebener Matrizen zu bestimmen. Andersrum steh ich da leider am Schlauch. Angabe: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55640_5_Screenshot_1.jpg


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Radix
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-14

Hallo nDown! Ist dir bekannt, dass in den Spalten der letzten Matrix f(b_1), f(b_2), f(b_3) stehen, wobei sie in der Basis c_1, c_2 dargestellt werden? Gruß Radix


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nDawn
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-14

Das ist mir klar soweit, ja. Ich kann mir auch die Abbildung herleiten, die ist ja im Prinzip: f(x,y,z)^T=(x+2y-z,x+3y)^T Allerdings verstehe ich jetzt noch immer nicht ganz was ich mit den Infos anfange. Das einzige was mir einfallen würde wäre ein Basiswechsel in die Standardbasis...


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Radix
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-11-14

Die Matrix am Schluss der Angabe gibt dir folgende Informationen: f(b_1)=c_1 f(b_2)=c_2 f(b_3)=0^> Das ist nicht schwer zu erfüllen. Gruß Radix


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nDawn
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-14

Und was fange ich dann mit meiner Matrix A an? Sorry, ich blicks noch immer nicht ganz. 😵


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Radix
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-11-14

Im 1. Schritt ermittelst du einen Vektor im Kern von A. Diesen Vektor nennst du dann b_3. Gruß Radix


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User0611
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-11-14

Hey, könntest du das vielleicht aufschreiben? Stehe auch auf dem Schlauch. LG


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Radix
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-11-14

Da wir nur einen Vektor des Kerns brauchen, würde es genügen, diesen (durch Probieren) zu erraten. Die Alternative ist, A als homogenes Gleichungssystem zu interpretieren und mit Gauß zu lösen. Gruß Radix


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User0611
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-11-14

ja, aber wieso brauche ich nur einen Vektor des Kerns? Das verstehe ich nicht ganz. Bzw noch grundlegender, woher weiß ich denn c1 und c2 um die Gleichungssysteme zu löen? LG


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Radix
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-11-14

Weil die letzte Spalte der Matrix nur aus Nullen besteht, was bedeutet, dass b_3 auf den Nullvektor abgebildet werden muss. Wir müssen als b_3 also einen Vektor des Kerns nehmen. Gruß Radix


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User0611
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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-11-14

ist die Lösung: c1=(1,0)^T, c2=(0,1/3)^T und b1=(3,-1,1)^T, b2=(3,-1,0)^T, b3=(4,-1,2)^T ?


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Radix
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-11-14

Nein, weil b_3 nicht auf den Nullvektor abgebildet wird.


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User0611
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  Beitrag No.12, eingetragen 2022-11-14

ist die Lösung: c1=(1,0)^T, c2=(0,1/3)^T und b3=(3,-1,1)^T, b1=(3,-1,0)^T, b2=(4,-1,2)^T ? sorry hab mich vertippt, jetzt ist es korrigiert.


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nDawn
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-14

Wir haben in der Vorlesung leider noch nicht den Kern von Matrizen als Thematik gehabt. Also muss ich das wohl über ein LGS machen und dann? Ist das Ergebnis davon dann dieser Kern?


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Radix
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  Beitrag No.14, eingetragen 2022-11-14

Wenn der Kern bei euch noch nicht vorkam, dann ist es wohl am besten, du versuchst, durch Probieren einen Vektor zu finden, der von der Matrix auf den Nullvektor abgebildet wird.


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nDawn
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  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-18

Sorry, für die erst so späte Rückmeldung aber ich habe das Beispiel denke jetzt gelöst! Hier mein Rechenweg: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55640_IMG_0383.jpg


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PhysikRabe
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  Beitrag No.16, eingetragen 2022-11-18

Wie kommst du darauf, dass dein $\mathcal B$ (das den Nullvektor beinhaltet) eine Basis des $\mathbb R^3$ wäre? Außerdem ergibt die Schreibweise $f(c_1)$ oder $f(c_2)$ keinen Sinn, denn $f$ ist eine Abbildung auf $\mathbb R^3$, wohingegen $c_1,c_2$ Vektoren des $\mathbb R^2$ sind. Es ist also gar nicht klar, was du damit meinst. Nachtrag (falls es nicht klar sein sollte): Deine Lösung stimmt leider nicht... Grüße, PhysikRabe


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