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| Autor |
  Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung |
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nrf
Junior 
Dabei seit: 01.11.2022
Mitteilungen: 14
 |  Themenstart: 2022-11-15
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Hallo,
ich habe bei der Lösung der folgenden Aufgabe Probleme:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55919_20221115_201839.jpg
Als Hauptbedingung habe ich, dass die Funktion $A(x,l)=l(x+40)$ maximal werden soll.
Als Nebenbedingung die Gleichung $2l+x+40+x=100$.
Ich erhallte dann die Zielfunktion $A(x)=(30-x)(x+40)$, die ja aufgrund der Nullstellen ihr globales Maximum bei $x=-5$ hat, was ja in diesem Zusammenhang irgendwie keinen Sinn ergibt?!
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Mandelbluete
Aktiv 
Dabei seit: 03.05.2008
Mitteilungen: 339
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-15
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
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\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
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\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi} \)
Die Nebenbedingung sollte $2(40 + x + l) = 100$ oder $l = 10 - x$ lauten. Wenn ein negatives $x$ herauskommt, dann heißt das, daß man auf einer Seite nur Mauer hat und diese sogar übersteht. Klar ist das sinnvoll! (Es sollte am Ende ein sehr spezieller, aber nicht überraschender Grundriß herauskommen. Du mußt auch noch begründen, daß es ein globales Maximum ist.)
Liebe Grüße
Mandelblüte
Edit: Hatte nicht richtig nachgedacht, siehe unten.\(\endgroup\)
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10522
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.2, eingetragen 2022-11-15
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
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\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
wenn ich das Bild richtig deute (was gar nicht so einfach ist...), dann sind sowohl deine Zielfunktion als auch die Nebenbedingung falsch. Denn die beiden langen Seiten müssen auf jeden Fall gleich lang sein. Sie könnten beide die Länge \(x+40\) haben. Das legt die Skizze jedenfalls nahe, es ergibt bei 100m Zaun aber keinen Sinn.
Also kann es meiner Ansicht nach nur so gemeint sein, dass die längere Seite des eingezäunten Rechtecks hier mit x bezeichnet wird. Dann hätte das Zaunstück unten aber die Länge \(x-40\). Und das müsstest du wie gesgat sowohl in der Zielfunktion als auch in der Nebenbedingung berücksichtigen.
Probiere es damit einmal, das sollte hinhauen.
Gruß, Diophant \(\endgroup\)
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Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 2800
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
 | Beitrag No.3, eingetragen 2022-11-15
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Hallo nrf
Du musst bei Extremwertaufgaben immer genau auf die Ränder achten. Bei deinem x macht nur ein Bereich größer 0 und kleiner 30 Sinn. Also kann das Extremum nur auf dem Rand liegen.
Nachtrag: Es ist komplizierter als gedacht, siehe Beitrag 7
Gruß Caban
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nrf
Junior
Dabei seit: 01.11.2022
Mitteilungen: 14
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-15
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Hallo,
also ich habe hier gerade große Verständnisschwierigkeiten und bin mir auch nicht sicher, ob sich eure Antworten nicht widersprechen.
\quoteon(2022-11-15 20:55 - Mandelbluete in Beitrag No. 1)
Die Nebenbedingung sollte $2(40 + x + l) = 100$
\quoteoff
Wenn ich dich richtig verstehe, interpretierst du die Skizze so wie ich in meinem ersten Beitrag. Nämlich so, dass $x$ nur ein Teil der Länge des abgebildeten Rechtecks ist. Für mich ist nicht klar, wieso das dann die Nebenbedingung sein sollte. Der Zaun wird einmal für die gesamte obere Länge ($x+40$) benutzt, für die Breiten ($2l$) und unten nochmal für die Teillänge $x$, so dass man auf meine Nebenbedingung im ersten Beitrag kommt, oder?
\quoteon(2022-11-15 20:55 - Mandelbluete in Beitrag No. 1)
Du mußt auch noch begründen, daß es ein globales Maximum ist.
\quoteoff
Bei quadratischen Funktionen dürfen wir das voraussetzen, aber danke für den Hinweis.
\quoteon(2022-11-15 20:58 - Diophant in Beitrag No. 2)
Also kann es meiner Ansicht nach nur so gemeint sein, dass die längere Seite des eingezäunten Rechtecks hier mit x bezeichnet wird. Dann hätte das Zaunstück unten aber die Länge \(x-40\). Und das müsstest du wie gesgat sowohl in der Zielfunktion als auch in der Nebenbedingung berücksichtigen.
\quoteoff
Wenn ich damit weiterarbeite, erhalte ich als Hauptbedingung $A(l,x)=l \cdot x$ und als Nebenbedingung $2l+x+x-40=100$ bzw. $l=70-x$ und die Zielfunktion $A(x)=(70-x) \cdot x$ und als globale Maximalstelle $x=35$. Wenn die Länge des Rechtecks aber nun 35 ist, kann es ja an der Längsseite keine 35 m lange Mauer geben. Ich hoffe, ich stelle mich hier gerade nicht allzu blöd an😖
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 2800
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
| Beitrag No.5, eingetragen 2022-11-15
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Hallo
Wie gesagt, bei deiner Nebenbedingung musst du erstmal den Bereich feststellen, aus dem x überhapt kommen kann. x muss auf jeden Fall größer als 40, da x=35 unter 40 liegt, ist 35 nicht die Lösung. Sondern x=40 m oder die Obergrenze für x, die sich ergibt, wenn l null ist.
Gruß Caban
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nrf
Junior
Dabei seit: 01.11.2022
Mitteilungen: 14
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-15
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Hallo,
\quoteon(2022-11-15 21:37 - Caban in Beitrag No. 3)
Hallo nrf
Du hast eine ganz wichtige elementare Sache bei Extremwertaufgaben nicht beachtet, die Zielvariable hat nur einen ganz bestimmten Bereich, aus der sie kommen kann. Dein x kann nur zwischen 0 und 30 liegen. Die 30 ergibt sich dann, wenn l null ist. Du erhälst -5, also muss der Extremweet auf dem Rand liegen. Entweder bei x=0 oder x=30.
Die Version von Diophant ist etwas einfacher zu interpretieren, aber das Extremum liegt auch dort auf dem Rand.
Gruß Caban
\quoteoff
Ach stimmt, natürlich. Ich habe so weit überhaupt nicht mehr gedacht, weil wir das bei quadratischen Funktionen bisher immer weggelassen haben, aber diese Aufgabe ist ein gutes Beispiel dafür, dass sie wohl immer sinnvoll ist.
Also wird der Flächeninhalt, wenn man jetzt meine Bezeichnungen aus dem ersten Beitrag nimmt, für $x=0$ und $l=30$ mit einem Flächeninhalt vonn 1200 m² maximal, oder?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
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Buri
Senior
Dabei seit: 02.08.2003
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Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.7, eingetragen 2022-11-15
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\quoteon(2022-11-15 20:55 - Mandelbluete in Beitrag No. 1)
Die Nebenbedingung sollte $2(40 + x + l) = 100$ lauten.
\quoteoff
Hi Mandelbluete,
das ist nicht richtig, die Mauer zählt nicht mit zum Zaun. Du hast den Umfang des Rechtecks angegeben, aber der ist nicht 100, sondern 140.
Gruß Buri
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 2800
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
| Beitrag No.8, eingetragen 2022-11-15
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Hallo
Nein, hier geht nicht -5. Für Werte kleiner 0 bräuchtest du eine andere Nebenbedingung.
nicht beachten:
Nein, die -5 ergeben doch Sinn, es werden nur 35 m der Mauer genutzt.
Gruß Caban
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Mandelbluete
Aktiv
Dabei seit: 03.05.2008
Mitteilungen: 339
| Beitrag No.9, eingetragen 2022-11-15
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
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\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
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\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi} \)
Stimmt. Ich habe mich geirrt. Danke, Buri!
Eigentlich müßte man das Problem in zwei Fälle aufteilen: einmal, daß Zaun zur Mauer dazukommt. Das ist jetzt geschehen, und das Maximum wird für den Randwert $x = 0$ erreicht. Aber es könnte ja auch sein, daß $x$ sozusagen negativ ist und man nur drei Seiten aus Zaun vor die Mauer baut. Hier kommt das gleiche Ergebnis heraus.\(\endgroup\)
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Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 2800
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
| Beitrag No.10, eingetragen 2022-11-15
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Hallo
Dein x aus der ersten Version ist doch richtig, mman nutzt halt nur 35 Meter der Mauer aus.
Mit Diophants Version könnte man das Ergebnis aber leichter interpretieren.
Nein, x=0 wären wegen dem Rand die einizg sinnvolle Lösung.
Gruß Caban
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Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
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Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
| Beitrag No.11, eingetragen 2022-11-15
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Hallo
Ich werde meinen Ansatz nochmal überarbeiten, in meinen Auganen braucht man eine abschnittsdefinierte Zielfunktion um es mathematisch korrekt zu machen.
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Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 2800
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
| Beitrag No.12, eingetragen 2022-11-15
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x als Gesamtstrecke
Hauptbedimgung
A=l*x
Fall1
x>40
Nebenbedingung
100=2*l+x+x-40
40<=x<=70
l=70-x
Fall2
x<=40
100=2*l+x
0<=x<=40
l=50-x/2
A(x)=x*(70-x) für x>40
x=35 entfällt
A(x)=x*(50-x/2) für x<=40
x=50 entfällt
x muss also am Rand liegen, dass A maximal wird.
x=40 ist also doch die Lösung.
Jezt noch für x als kleines Stück
A=l*(40+x)
x<0
100=2*l+40+x
-40<=x<0
A=(30-x/2)*(x+40)
x=10 entfällt
x>0
100=2*l+2*x+40
0
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10522
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.13, eingetragen 2022-11-15
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo zusammen,
die folgende Bemerkung aus der Aufgabenstellung...
Achten Sie darauf, dass Ihre Lösung im Sachkontext sinnvoll ist.
...könnte man so verstehen, dass auf jeden Fall die komplette Mauer genutzt werden soll und man dann eben ein Randmaximum bei \(x=0\) bzw. \(x=40\) bekommt, je nachdem, wie man nun die Größe \(x\) interpretiert.
Gruß, Diophant
\(\endgroup\)
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Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 2800
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
| Beitrag No.14, eingetragen 2022-11-15
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Hallo Diophant
\quoteon(2022-11-15 22:52 - Diophant in Beitrag No. 13)
Hallo zusammen,
die folgende Bemerkung aus der Aufgabenstellung...
Achten Sie darauf, dass Ihre Lösung im Sachkontext sinnvoll ist.
...könnte man so verstehen, dass auf jeden Fall die komplette Mauer genutzt werden soll und man dann eben ein Randmaximum bei \(x=0\) bzw. \(x=40\) bekommt, je nachdem, wie man nun die Größe \(x\) interpretiert.
Gruß, Diophant
\quoteoff
Die Skizze in der Aufgabenstellung deutet für mich das genaue Gegenteil an.
Ich bin der Meinunung, wenn man es wirklich exakt machen will, muss man 2. Fälle durchrechnen.
PS: Ich glaube, ich habe dich zuerst falsch verstanden. Ich sehe es doch so wie du.
Gruß Caban
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nrf
Junior 
Dabei seit: 01.11.2022
Mitteilungen: 14
| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-15
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Okay, nur nochmal um sicherzugehen, dass ich jetzt alles verstanden habe:
Aufgrund von cabans Fallunterscheidung sehe ich jetzt, dass sich die größte Fläche - unabhängig davon, ob ich die komplette Mauer nutzen muss oder auch nur einen Teil nutzen darf - immer ergibt, wenn ich ein Rechteck mit der Länge 40 m und der Breite 30 m nutze, oder?
Ich finde, dass für die Notwendigkeit von cabans Fallunterscheidung auch der Wortlaut der Aufgabe spricht. Allerdings haben wir das wirklich noch nie so gemacht. Aus der Formulierung ,,Dabei will er eine vorhandene Steinmauer der Länge 40 m als Abgrenzung mit benutzen'' sagt ja in keiner Weise aus, wie das Mitbenutzen konkret aussieht.
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Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 2800
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
| Beitrag No.16, eingetragen 2022-11-15
|
Hallo
Ja, das größte Rechteck entsteht immer bei den Maßen 30*40.
Wenn man die Skizze betrachtet, denke ich aber, dass dein Lehrer x als das kleine Stück und als positiv betrachtet.
Gruß Caban
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nrf
Junior
Dabei seit: 01.11.2022
Mitteilungen: 14
| Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-15
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Okay, alles klar.
Vielen Dank für die Hilfe von allen!
Ich werde mit meinem Lehrer aber nochmal über diese Mehrdeutigkeit reden und fragen, wie er es in einer Klausur haben wollen würde.
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cramilu
Aktiv
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 2063
Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
 | Beitrag No.18, eingetragen 2022-11-16
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Hallo nrf und noch ein verspätetes Willkommen!
Fallunterscheidung und Betrachtung der Grenzen sind hier
wohl genau das, worauf Euer Lehrer hinauswollte.
Die Fallunterscheidung sollte allerdings von vornherein erfolgen,
denn für negative \(x\) ergibt sich eine andere Abhängigkeit der
seitlichen Teillängen \(l\) des Zaunes und damit auch der Fläche:
\(x>0\) : \(l=\frac{100-40-2x}{2}=30-x\)
\(x\leq0\) : \(l=\frac{100-40-x}{2}=30-\frac{x}{2} \)
\(A(x)\;=\;\left\{\begin{array}{2}\,-x^2-10x+1200 & \text{wenn }x>0 \\
\,-\frac{x^2}{2}+10x+1200 & \text{wenn }x\leq0. \end{array}\right.\)
Man erkennt sofort, dass für '\(x\) gegen Null' beide Teilterme
\(1200\) ergeben.
Klar: Wenn Du Dir ein Schaubild zu \(A(x)\) skizzierst, schneiden
zwei Parabeläste einander in einem Peak (Knick) bei \(x=0\) .
Ob Euer Lehrer da eine beiderseitige Grenzwertbetrachtung für
die Unstetigkeitsstelle im Sinn hatte, mag ich nicht beurteilen.
Ermittelt man die Maxima der beiden Teilterme, so ergibt sich
für den oberen (\(x>0\)) vorgabewidrig \(-5\) ; das hattest Du ja
wohl korrekt ermittelt. Und für den unteren (\(x\leq0\)) vorgabe-
widrig \(10\) . Die jeweils maximalen Flächen wären demnach
für \(x>0\) \(1225\,m^2\) und für \(x\leq0\) \(1250\,m^2\) - jedoch beide
aufgrund jeweils vorgabewidriger Werte!
Da nun beide Teilterme nach unten geöffnete Parabeln beschreiben,
sind beide Teilfunktionen jeweils beiderseits ihrer Maxima von dort
weg führend streng monoton fallend. Das Gesamtmaximum von
\(A(x)\) muss sich also an der Abschnittsgrenze \(x=0\) ergeben!
Es beträgt, wie oben schon erspäht, \(1200\,m^2\) .
Zur Kontrolle der Werte für die beiden Teilmaxima:
Für \(x=-5\) wären 'unten' gar kein Zaun und 'oben' \(35\,m\)
erforderlich. Als seitliche Länge ergäbe sich \(l=32{,}5\,m\)
und als Fläche \(A=1137{,}5\,m^2<1200\,m^2\) . MÖÖÖP! 😉
Für \(x=10\) wären 'unten' \(10\,m\) und 'oben' \(50\,m\) Zaun
erforderlich. Als seitliche Länge ergäbe sich \(l=20\,m\)
und als Fläche \(A=1000\,m^2<1200\,m^2\) . MÖÖÖP! 😉
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Profil
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nrf
Junior
Dabei seit: 01.11.2022
Mitteilungen: 14
| Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-20
|
Hallo cramilu,
auch noch danke für deinen Betrag.
Ich habe ihn leider erst jetzt gelesen.
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Profil
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ebikerni
Aktiv
Dabei seit: 17.10.2020
Mitteilungen: 256
| Beitrag No.20, eingetragen 2022-11-21
|
Hallo,
ich habe mich für diese Aufgabe auch sehr interessiert und konnte die
Empfehlung von Diophant Beitrag 2 anwenden.
Also kann es meiner Ansicht nach nur so gemeint sein, dass die längere
Seite des eingezäunten Rechtecks hier mit x bezeichnet wird. Dann hätte
das Zaunstück unten aber die Länge x−40.
100 = x + (x-40) + 2*l A = x*l --> Als Ergebnis: x1=70 l1=0 , x2=0 l2=70
Wenn die obere Seite x oder die linke Seite l1 oder l2 max. 70 sein können, dann ist die Fläche max. 35*35 = 1225. Die Länge der Mauer = 40,
demzufolge l1 und l2 je 30 --> 30 + 30 + 40 = 100 , größte Fläche = 1200
Kontrolle:
Mauer (Summe Zäune = 100) Fläche
40 + 0 40 30 30 100 1200
40 + 1 41 29 29 100 1189
40 + 2 42 28 28 100 1176
40 + 3 43 27 27 100 1161
40 + 5 45 25 25 100 1125
40 + 10 50 20 20 100 1000
40 + 15 55 15 15 100 825
40 + 20 60 10 10 100 600 u.s.w.
Wird die obere Seite x erhöht, dann muss die Differenz auch in die
Summengleichung der 4 Zaunseiten berücksichtigt werden.
Werden alle meine Berechnungen zugestimmt ?
Gruß ebikerni
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10522
Wohnort: Rosenfeld, BW
|  Beitrag No.21, eingetragen 2022-11-21
|
Hallo ebikerni,
\quoteon(2022-11-21 19:32 - ebikerni in Beitrag No. 20)
Werden alle meine Berechnungen zugestimmt ?
\quoteoff
Ja, es wird zugestimmt.
Gruß, Diophant
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cramilu
Aktiv
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 2063
Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
| Beitrag No.22, eingetragen 2022-11-21
|
\quoteon(2022-11-15 23:58 - nrf in Beitrag No. 17)
[...] Ich werde mit meinem Lehrer aber nochmal über diese Mehrdeutigkeit
reden und fragen, wie er es in einer Klausur haben wollen würde.\quoteoff
@nrf: Und, hat sich da etwas neues ergeben?
\quoteon(2022-11-21 19:32 - ebikerni in Beitrag No. 20)
[...] Also kann es meiner Ansicht nach nur so gemeint sein, dass die längere
Seite des eingezäunten Rechtecks hier mit x bezeichnet wird. Dann hätte
das Zaunstück unten aber die Länge x−40. [...]\quoteoff
@ebikerni: Der Aufgabensteller hätte locker gleich zwei Möglichkeiten
gehabt, das Schaubild entsprechend zu beschriften, nämlich entweder
die Breite oben, wo ja jede Menge Platz ist, mit dem \(x\) , oder die Breite
unten durch Verwendung einer geschweiften Klammer o.ä., welche die
Mauer mit einschließt. Hat er aber nicht!
Ich würde mich mit Mutmaßungen zurückhalten,
bis der Themenstarter mehr weiß und uns erhellt. 😉
\quoteon(2022-11-21 19:42 - Diophant in Beitrag No. 21)
[...] Wenn man jedoch erlaubt, dass die Mauer an einer Seite übersteht,
dann gibt es noch bessere Lösungen. [...]\quoteoff
@Diophant: Soso... Gib doch bitte für die konkreten Zahlen eine an.
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10522
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.23, eingetragen 2022-11-21
|
@cramilu:
\quoteon(2022-11-21 20:54 - cramilu in Beitrag No. 22)
@Diophant: Soso... Gib doch bitte für die konkreten Zahlen eine an.
\quoteoff
Das war ein Irrtum meinerseits, ich hatte die Aufgabe nicht mehr richtig im Kopf.
Danke für den Hinweis. Ich nehme die Passage oben dann wieder heraus.
Gruß, Diophant
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nrf
Junior
Dabei seit: 01.11.2022
Mitteilungen: 14
| Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-01
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\quoteon(2022-11-21 20:54 - cramilu in Beitrag No. 22)
\quoteon(2022-11-15 23:58 - nrf in Beitrag No. 17)
[...] Ich werde mit meinem Lehrer aber nochmal über diese Mehrdeutigkeit
reden und fragen, wie er es in einer Klausur haben wollen würde.\quoteoff
@nrf: Und, hat sich da etwas neues ergeben?
\quoteoff
@cramilu: Sorry, dass ich erst jetzt antworte, aber ich logge mich meistens überhaupt nicht auf dem Matheplaneten ein und lese nur ,,still'' mit. In Zukunft sollte ich wohl die Threads etwas genauer und länger im Blick haben.
Mein Lehrer meinte, dass er für eine Betrachtung des Falls, bei dem die Mauer vollständig mitbenutzt wird, schon die volle Punktzahl gegeben hätte. Er hat zugegeben, dass er bei der Auswahl der Aufgabe über die Mehrdeutigkeit und die eigentlich notwendige Fallunterscheidung selbst nicht gedacht hat.
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cramilu
Aktiv
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 2063
Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
| Beitrag No.25, eingetragen 2022-12-01
|
nrf, dann hat Euer Lehrer wahrscheinlich auch noch nicht
registriert, dass es sich bei dieser Art Aufgabenstellung
um einen echten - zumal ergiebigen - 'Klassiker' handelt!? 😉
Ich werde das hier in Kürze näher ausführen...
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cramilu
Aktiv
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 2063
Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
| Beitrag No.26, eingetragen 2022-12-06
|
Der 'Klassiker' allgemein...
Sei bei gleicher Gemengelage allgemein die Länge der Mauer \(m\) ,
und die Länge des Zaunes \(z\) .
Die seitlichen Teillängen \(l\) des Zaunes und damit auch der Fläche
der eingezäunten Weide ergeben sich dann wie folgt:
\(x>0\) : \(l=\frac{z-m-2x}{2}=\frac{z-m}{2}-x\) \(\lor\) \(x\leq0\) : \(l=\frac{z-m-x}{2}=\frac{z-m}{2}-\frac{x}{2} \)
\(A_{m;z}(x)\;=\;\left\{\begin{array}{2}\,-x^2+x\cdot\left[\frac{z-3\cdot m}{2}\right]+\left[\frac{m\cdot(z-m)}{2}\right] & \text{wenn }x>0 \\
\,-\frac{x^2}{2}+x\cdot\left[\frac{z-2\cdot m}{2}\right]+\left[\frac{m\cdot(z-m)}{2}\right] & \text{wenn }x\leq0. \end{array}\right.\)
Dort, wo die linearen Koeffizientenklammern zu Null werden, wird
es spannend! Das ist der Fall für \(z=2\cdot m\) und für \(z=3\cdot m\) ...
Was allgemein für \(2\cdot m\;<\;z\;<\;3\cdot m\) passiert, hatten wir im
konkreten Fall der ursprünglichen Aufgabe: \(z\;=\;2{,}5\cdot m\)
Die getrennten Extremwertbetrachtungen für den oberen und für
den unteren Teilterm liefern Werte, welche der jeweiligen Vorgabe
widersprechen. Das Maximum wird für die 'Abschnittsgrenze' bei
\(x=0\) erreicht und lässt sich an der Konstantenklammer ablesen!
Die eingezäunte Weide ist stets so breit wie die Mauer lang ist.
Für \(z\;=\;3\cdot m\) bleibt es zwar aufgrund der abschnittsweisen
Definition der Weidefläche auch gerade noch beim 'Grenzfall', aber
immerhin nimmt die Weide schon diejenige Form an, welche man
wohl intuitiv erwartet hätte, nämlich eine quadratische!
Für \(z\;>\;3\cdot m\) liefert dann auch die Extremwertbetrachtung für
den Fall \(x>0\) eine 'passende' Lösung. 😃
Für \(z\;\leq\;2\cdot m\) findet sich eine 'passende' Lösung bei der Extrem-
wertbetrachtung zu \(x\leq0\) . 😃
Die eingezäunte Weide hat dann stets ein Seitenverhältnis von \(2:1\) ,
wobei die kürzeren Seiten senkrecht zur Mauer verlaufen.
Die folgende Grafik veranschaulicht, wie sich der Zaunpfosten links
oben mit wachsender Zaunlänge von der rechten unteren Ecke der
Mauer wegbewegt:
Das Verhältnis der Zaun- zur Mauerlänge legt also zwingend sowohl
die Fläche wie auch das Seitenverhältnis und die Diagonalenlänge
der eingezäunten Weide fest! 😉
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nrf
Junior
Dabei seit: 01.11.2022
Mitteilungen: 14
| Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-10
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Vielen Dank für deinen Beitrag cramilu. Ich bin im Moment noch mit anderen Sachen beschäftigt, werde mir das aber auf jeden Fall mal in Ruhe durchlesen.
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nrf hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
nrf hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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