Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Gruppen » Konjugationsklassen
Autor
Universität/Hochschule J Konjugationsklassen
Quantenfluktuationen
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 08.06.2022
Mitteilungen: 47
  Themenstart: 2022-11-16

Meine lieben Mathe-Verrückten! Ich habe ein Verständnisproblem bezüglich Konjugationsklassen. Und zwar soll ich die Konjugationsklassen von A4 berechnen. Ich habe bereits die Lösung für die Aufgabe in der Übungsgruppe erhalten, die hilft mir aber nicht wirklich weiter. Mein erster Weg war da natürlich zu meiner Übungsgruppenleiterin, die meine Frage damit quittierte, dass man die Konjugationsklasse einfach nach Vorschrift berechnen solle. Ja wow, danke. Hier unsere Lösung der Aufgabe: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55654_IMG_0830.jpeg Also mal ganz von vorn zu dem, was ich verstehe, und dem, was nicht. Eine Konjugationsklasse haben wir mittels \[g \cdot x \cdot g^{-1}\] definiert. Also das ist das, was in der zweiten und dritten Zeile passieren dürfte. Dabei ist das x in der Mitte jeweils ein Zweier-Zykel aus A^4. 1. Frage: Wo ist denn der dritte 2-er Zyklen? Auf Wiki steht, wir haben {(12)(34), (13)(24), (14)(23)}. Die 3er Zyklen sind hier nicht relevant, wenn ich das richtig verstanden habe, da sie nicht konjugiert sind (Woran seh ich das denn? ich habe es auch eher nur als Aussage und nicht als Begründung gefunden. Die Konjugation ist doch eigentlich gerade das, was ich hier erst ausrechnen muss.). 2. Frage: Die X sind ja scheinbar genau die 2er-Zykel. Woher nehme ich meine g? Sowieso kann in der dritten Zeile ja auch irgendwas nicht stimmen, da \[g^{-1}\] nicht zum g passt. Dementsprechend bekomme ich für die Zyklen auch nicht das raus, was da steht. Für die zweite Zeile habe ich das selbe raus. 3. Frage: Dem Kommentar meiner ÜG Leiterin nach zu urteilen wäre ich ja theoretisch jetzt schon fertig. Allerdings sehe ich, dass hier nochmal explizit Konjugationsklassen mit mehreren Elementen aufgeschrieben wurden, und das scheint mir komplett losgelöst von den beiden Zeilen davor. Stattdessen wird jetzt doch plötzlich mit den 3er-Zyklen gerechnet und wie man auf die Elemente dafür kommt, wird auch nicht beschrieben (auf selbem Wege wie für die 2er-Zyklen?) Wie ihr seht, stehe ich hier leider ziemlich auf dem Schlauch. Ich habe mir auch schon einiges an Forenbeiträgen mit ähnlichen Problemen angesehen und werde leider nicht schlauer daraus. Über ein wenig Hilfe würde ich mich sehr freuen! Herzlichst, Quantenfluktuationen


   Profil
juergenX
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 08.07.2019
Mitteilungen: 766
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-18

Zu der 1. Frage, frage ich mich wird die Konjugationsklasse von $(12)(34)$ gesucht? Die Formulierung $C_{(12)(34)} = V_4$ ohne e kann man so durchgehen lasen ;) (BTW:wie geht das Sybol für ohne nochmal..) Dazu gehoert auch $(12)(34)$ selbst. So fehlt dann auch $(12)(34) = (12)(34)$. Oder $(12)(34)(12)(34)(12)(34) ) =(12)(34)$. Beachte dass V4 Normalteiler von A4 ist. $g$ und $g^{-1}$ sind alle Elemente aus A4. Und wenn $h \in V4$, ist $g^{-1}hg \in V_4$ Ansonste empfehle ich https://de.wikipedia.org/wiki/Konjugation_(Gruppentheorie) zu studieren.. "Alle Elemente, die zueinander konjugiert sind, bilden jeweils eine Äquivalenzklasse, die sogenannte Konjugationsklasse von h"


   Profil
Quantenfluktuationen
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 08.06.2022
Mitteilungen: 47
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-26

Hallo Jürgen, Vielen Dank für deine Antwort und sorry für meine verspätete! Irgendwie hatte ich damit gerechnet, per Mail benachrichtigt zu werden, sobald Antworten kommen. Dies war leider nicht der Fall... Also, Aufgabe war es ursprünglich, alle Konjugationsklassen von A4 zu bestimmen. Wie das grundsätzlich funktioniert, habe ich inzwischen mit Hilfe meines Algebra Buches (Grundlage der Algebra und Zahlentheorie) herausfinden können. Aber die Schreibweise in dieser Aufgabe ist mir nach wie zuvor ein Rätsel. Meine neuen Überlegungen mit Hilfe des Buches sind folgende: Zuerst muss ich mir überlegen, welche Elemente in A4 vorhanden sind. Das sind im Allgemeinen 12 Elemente. Da ich drei verschiedene Arten von Zyklen habe, sollte ich am Ende auch drei Konjugationsklassen haben. (In diesem Fall sogar vier, da es für Ordnung 3 8 Elemente gibt und 8 nicht 12 teilt). Und dann ist es im Prinzip ausrechnen. Ich fange an mit einem Zyklus der Ordnung 2, diesen multipliziere ich mit einem Zyklus der Ordnung 3 und seinem Inversen. mein Ergebnis sollte wieder einen Zweierzykel ergeben. In den Konjugationsklassen stehen am Ende letztendlich nur die entsprechenden Zykel. Sehe ich das richtig? In dem Fall ist es ja allerdings unendliche Rechenarbeit, lässt sich das verkürzen? In dem Fall vermute ich einfach mal, dass die Hausaufgabenlösung wesentlich verkürzt wurde.


   Profil
juergenX
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 08.07.2019
Mitteilungen: 766
  Beitrag No.3, eingetragen 2022-11-27

$\displaystyle A_4 = (1),(12)(34),(14)(23),(13)(24),(123),(132),(134),(143),(243),(234),(142),(124)$


   Profil
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6470
Wohnort: Berlin
  Beitrag No.4, eingetragen 2022-11-27

@Quantenfluktuationen: Zu deiner Info, weil du noch relativ neu hier bist: Die Beiträge von juergenX sind in den meisten Fällen mangelhaft und enthalten viele Fehler, Ungenauigkeiten und vor allem nichtzielführende "Hilfen". Das ist in diesem Thread nicht anders. Ich würde dir daher den Tipp geben, alle Beiträge von juergenX im Algebra-Forum zu ignorieren. matroid hat ihn auch bereits darauf hingewiesen, nicht mehr im Algebra-Forum zu posten, wo er am meisten seine "Nachhilfe" gibt, aber offenbar mit wenig Erfolg. Hoffentlich melden sich hier noch andere Leute zu Wort und werden dir kompetent weiterhelfen. PS: Dieser Post bezieht sich auf die ursprünglichen Beiträge von juergenX, mittlerweile sind sie editiert.


   Profil
juergenX
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 08.07.2019
Mitteilungen: 766
  Beitrag No.5, eingetragen 2022-11-27

Das sind üble Verleumdungen ohne Beweis. Schon justitiabel. Wenn was an meine äusserungen was falsch ist kannst du es ja sagen ohne persönlich zu werden. Niemand hat mir irgendwas verboten. Ich verbitte mir solcher Art "Warnung" oder was aufs schärfste! Kann der Moderator das von dem allseits beliebten T. ..bitte löschen? Meinetwegen auch meins. Dann aber mit Begründung. Den "Erfolg" kannst du und ich nicht beurteilen weil der TE das noch gar nicht las.


   Profil
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6470
Wohnort: Berlin
  Beitrag No.6, eingetragen 2022-11-27

@juergenX: Beweise gibt es hunderte, so gut wie jeder deiner Beiträge hier (zumindest im Algebraforum, woanders schaue ich zu selten), auch unter deinem vorigen Account (du bist ja schon mehr als 10 Jahre hier). Auf die Fehler wurdest du mehrfach hingewiesen, sowohl im Forum als auch durch private Nachrichten. Wenn sich dann immer noch nichts ändert, kommt man dann irgendwann zu dem Punkt, dass man die Fehler nicht mehr korrigieren möchte, sondern lieber andere User vor mangelhaften Beiträgen schützen möchte. Du schreibst einfach ohne Nachzudenken so einen Quatsch wie oben "So dass die $A_4$ selbstkonjugiert ist." und die Anfänger versuchen sich dann daraus einen Reim zu machen. In deiner Zeile $A_4 = \displaystyle (1), (12)(34), (13)(24), (14)(23) (124), (142), (143), (134), (234), (243), (132), (123)$ fehlen ein Komma (dadurch sieht es so aus, als ob du $(14)(23)(124)$ meinst) und Mengenklammern. Im Beitrag unter diesem weist DavidM auch noch auf einen groben inhaltlichen Fehler hin. Von den Fehlern abgesehen machst du allgemeine (lückenhafte) Hinweise auf die Definitionen, die aber auch nicht bei der Berechnung weiterhelfen. Du spielst dich immer wieder als Ratgeber auf, bist aber selbst ohne Plan. Das ist gegen das Ziel des Forums. Wir möchten die Leute hier nicht verwirren oder irreleiten, sondern ihnen weiterhelfen. Eine grundlegende Voraussetzung dafür ist, dass man die Kompetenz für die jeweilige Frage mitbringt. Das tust du in den allermeisten Fällen nicht. Das ist auch kein persönlicher Angriff, wie du es darstellst, sondern eine objektive Feststellung, die sich auf deine Beiträge, nicht auf dich als Person (ich kenne dich nicht) bezieht. Das ist alles seit Jahren bekannt, wurde dir mehrfach mitgeteilt, und du änderst trotzdem nichts. Wann wird dir klar, dass du mit diesem Verhalten den Usern hier mehr schadest als ihnen hilfst?


   Profil
DavidM
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.06.2012
Mitteilungen: 408
  Beitrag No.7, eingetragen 2022-11-27

\quoteon(2022-11-27 13:36 - juergenX in Beitrag No. 3) Ich meine, es gibt nur 1 disjunkte Konjugationsklasse, nämlich die ganze Gruppe $\displaystyle H = A_4$. (Kann mich in lezterem aber auch täuschen, ich bitte jemand mich zu berichtigen, falls nötig) \quoteoff Da täuschst du dich tatsächlich, das neutrale Element ist grundsätzlich immer nur zu sich selbst konjugiert, insofern kann die ganze Gruppe keine Konjugationsklasse sein. Auch die Gruppe ohne das neutrale Element ist nie eine einzige Konjugationsklasse, wenn die Gruppe mehr als zwei Elemente hat. \quoteon(2022-11-26 15:08 - Quantenfluktuationen in Beitrag No. 2) Zuerst muss ich mir überlegen, welche Elemente in A4 vorhanden sind. Das sind im Allgemeinen 12 Elemente. Da ich drei verschiedene Arten von Zyklen habe, sollte ich am Ende auch drei Konjugationsklassen haben. (In diesem Fall sogar vier, da es für Ordnung 3 8 Elemente gibt und 8 nicht 12 teilt). Und dann ist es im Prinzip ausrechnen. Ich fange an mit einem Zyklus der Ordnung 2, diesen multipliziere ich mit einem Zyklus der Ordnung 3 und seinem Inversen. mein Ergebnis sollte wieder einen Zweierzykel ergeben. In den Konjugationsklassen stehen am Ende letztendlich nur die entsprechenden Zykel. Sehe ich das richtig? In dem Fall ist es ja allerdings unendliche Rechenarbeit, lässt sich das verkürzen? \quoteoff Der Ansatz ist schon genau richtig. Die drei Elemente der Ordnung zwei können nur zueinander konjugiert sein und die Rechnungen aus dem Startbeitrag zeigen, dass sie das auch tatsächlich sind. Bei den Elementen der Ordnung drei hast du Recht, man kann zunächst einmal sagen, dass die nicht nur eine Konjugationsklasse bilden können, weil 8 kein Teiler von 12 ist. Und dann muss man tatsächlich im Wesentlichen ausprobieren, welche zueinander konjugiert sind. Dabei kann man noch folgendes ausnutzen, falls das bei euch bekannt ist: Für einen Dreierzykel $(a_1 \ a_2 \ a_3)$ und eine beliebige Permutation $\sigma$ ist $\sigma(a_1 \ a_2 \ a_3)\sigma^{-1}=(\sigma(a_1) \ \sigma(a_2) \ \sigma(a_3))$. (Das ist keine besondere Eigenschaft von Dreierzkeln, sondern gilt entsprechend auch für andere Permuationen, ich habe mich hier nur auf den Spezialfall beschränkt, um die Notation übersichtlich zu halten.) Ausnutzen können wir das hier folgendermaßen: Angenommen, wir wollen wissen, ob zum Beispiel $(123)$ und $(134)$ in $A_4$ konjugiert sind. Nach obigem muss es dafür eine Permutation $\sigma \in A_4$ geben, sodass $\sigma(1)=1, \sigma(2)=3, \sigma(3)=4$ ist. Da $\sigma$ eine Permutation ist, ist dann zwangsläufig $\sigma(4)=2$, also $\sigma=(234)$. Das liegt tatsächlich in $A_4$, also sind $(123)$ und $(134)$ konjugiert. Vielleicht gibt es auch noch andere Tricks, aber der hier fällt mir spontan ein. Edit: Hier war ich ein bisschen zu schnell, danke an Triceratops für den Hinweis. Es könnte zunächst einmal auch sein, dass es etwa nur ein $\sigma' \in A_4$ gibt mit $\sigma'(1)=3, \sigma'(3)=4, \sigma'(4)=1$, dann wäre ja $\sigma' (123) (\sigma')^{-1}=(341)=(134)$, siehe auch den nächsten Beitrag von Triceratops. Tatsächlich ist das was ich oben geschrieben habe in diesem Fall aber doch richtig, wenn es nämlich ein solches $\sigma'$ gibt, dann gibt es auch ein $\sigma$, wie ich es oben behauptet habe, nämlich $\sigma=(134)^2 \circ \sigma'$. Ich hoffe, damit wird das hier ein bisschen klarer. Gruß, David


   Profil
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6470
Wohnort: Berlin
  Beitrag No.8, eingetragen 2022-11-27

Kommen wir mal zurück zur Aufgabe. Sehr hilfreich für das Berechnen von Konjugationsklassen in Permutationsgruppen, also Untergruppen der symmetrischen Gruppe, ist die folgende (leicht zu beweisende) Formel: $\pi \circ (a_1 \, \dotsc \, a_n ) \circ \pi^{-1} = (\pi(a_1) \, \dotsc \, \pi(a_n))$ Also: wenn man einen Zyklus konjugiert, kommt einfach ein Zykel derselben Länge heraus, und die Einträge sind einfach die Bilder unter der Permutation, mit der man konjugiert. Und dasselbe gilt dann auch für Produkte von Zykeln (weil das Konjugieren ja ein Homomorphismus ist). Beispiel: $(1 \, 2 \, 3) \, (1 \, 2) (3 \, 4)\, (1 \, 2 \, 3)^{-1} = \pi \,(1 \, 2) (3 \, 4) \, \pi^{-1}$ mit $\pi = (1 \, 2 \, 3)$, das ist also $(\pi(1) \, \pi(2)) (\pi(3) \, \pi(4)) = (2 \, 3)(1 \, 4)$. Mit etwas Übung muss man das nicht mehr so ausführlich aufschreiben und kann direkt $(1 \, 2 \, 3) \, (1 \, 2) (3 \, 4) \, (1 \, 2 \, 3)^{-1} = (2 \, 3)(1 \, 4)$. sehen. Natürlich könnte man das auch per Hand ausrechnen, aber so geht es offensichtlich viel schneller. Aus der Formel folgt, dass zwei Permutationen genau dann in der vollen symmetrischen Gruppe zueinander konjugiert sind, wenn sie denselben Zyklustyp aufweisen. Insbesondere ist derselbe Zyklustyp ein notwendiges Kriterium für zwei Permutationen, damit sie in der alternierenden Gruppe (bzw. irgendeiner Permutationsgruppe) konjugiert sein können. (Es ist i.A. nicht hinreichend, das sehen wir unten.) Die Konjugationsklassen einer Gruppe $G$ bilden ja immer eine disjunkte Zerlegung der (Trägermenge der) Gruppe. Das relativ simple Vorgehen sieht also so aus: man startet mit der Konjugationsklasse von $e$, die ist einfach $\{e\}$. Hat man bereits Konjugationsklassen $K_1,\dotsc,K_m$ berechnet, und überdecken diese $G$ bereits, ist man fertig. Ansonsten wähle ein Element $x \in G$, was in keinem $K_1,\dotsc,K_m$ vorkommt, und berechne davon die Konjugationsklasse $K_{m+1} := C(x) := \{g x g^{-1} : g \in G\}.$ So fährt man also fort. Wenn $G$ endlich ist, bricht dieser Prozess irgendwann ab. So kann man es auch hier mit der alternierenden Gruppe $A_4$ machen. Wir starten mit $C(e) = \{e\}$. Wählen wir irgendein Element $\neq e$ in $A_4$, etwa $(1 \, 2) (3 \, 4)$ mit Zyklustyp $(2,2)$. Dann berechnet man mit der obigen Formel wie gesagt $(1 \, 2 \, 3) \, (1 \, 2) (3 \, 4) \, (1 \, 2 \, 3)^{-1} = (2 \, 3)(1 \, 4)$ $(1 \, 3 \, 2) \, (1 \, 2) (3 \, 4) \, (1 \, 3 \, 2)^{-1} = (3 \, 1)(2 \, 4)$ Also sind alle $(2,2)$-Zykel in $A_4$ zu $(1 \, 2)(3 \, 4)$ konjugiert. Umgekehrt wissen wir ja schon, dass alle zu $(1 \, 2) (3 \, 4)$ konjugierten Permutationen ebenfalls $(2,2)$-Zykel sein müssen. Wir müssen also gar nicht mehr weiterrechnen und wissen bereits, dass dies die gesamte Konjugationsklasse ist: $C((1 \, 2) (3 \, 4)) = \bigl\{(1 \, 2) (3 \, 4), (2 \, 3)(1 \, 4),(3 \, 1)(2 \, 4)\bigr\}$ Jetzt nehmen wir uns ein anderes Element, was noch nicht vorgekommen ist, zum Beispiel $(1 \, 2 \, 3)$. Wieder ist es so, dass jede zu $(1 \, 2 \, 3)$ (in $A_4$) konjugierte Permutation ebenfalls ein $3$-Zyklus sein muss. Berechnen wir ein paar Konjugationen: $e (1 \, 2 \, 3) e^{-1} = (1 \, 2 \, 3)$ $(1 \, 2 \, 4) (1 \, 2 \, 3) (1 \, 2 \, 4)^{-1} = (2 \, 4 \, 3) $ $(2 \, 3 \, 4) (1 \, 2 \, 3) (2 \, 3 \, 4)^{-1} = (1 \, 3 \, 4)$ $(1 \, 4 \, 3) (1 \, 2 \, 3) (1 \, 4 \, 3)^{-1} = (1 \, 4 \, 2)$ Die Konjugationsklasse hat also mindestens $4$ Elemente. Wenn wir in der $S_4$ arbeiten würden, könnten wir auch mit $(1 \, 2)$ konjugieren und $(1 \, 3 \, 2)$ erhalten. Das ist hier aber nicht möglich. Es scheint hier dann auch nicht weitergehen. Das kann man entweder per Hand bestätigen, oder man argumentiert so: Völlig analog, einfach indem wir $2$ und $3$ gegenseitig umbenennen, sehen wir, dass die Konjugationsklasse von $(1 \, 3 \, 2)$ mindestens einmal die $4$ Elemente $(1 \, 3 \, 2)$, $(3 \, 4 \, 2) = (2 \, 3 \, 4)$, $(1 \, 2 \, 4)$, $(1 \, 4 \, 3)$ enthält. Die sind auch von den obigen verschieden. In den bisherigen Konjugationsklassen befinden sich $1 + 3 + 4 + 4 = 12$ Elemente. Weil $A_4$ nicht mehr Elemente hat, sind das also bereits alle. Es bleibt nur noch offen, ob die beiden zuletzt gefundenen Konjugationsklassen nicht vielleicht doch zusammenfallen, sprich, ob $ (1 \, 2 \, 3 )$ und $(1 \, 3 \, 2)$ zueinander konjugiert sind (in $A_4$). Nun, wenn sie das wären, gäbe es per Definition ein $\pi \in A_4$ Mit $\pi (1 \, 2 \, 3) \pi^{-1} = (1 \, 3 \, 2)$, also $(\pi(1) \, \pi(2) \, \pi(3)) = (1 \, 3 \, 2)$. Es gibt drei Fälle, $\pi(1)$ muss $1$, $3$ oder $2$ sein. Im ersten Fall ist $\pi(1)=1$, $\pi(2)=3$, $\pi(3)=2$. Weil $\pi$ bijektiv ist, gilt $\pi(4)=4$. Dann ist aber $\pi = (2 \, 3)$, also nicht in $A_4$ enthalten, Widerspruch. Die anderen beiden Fälle gehen analog. Die Konjugationsklassen von $A_4$ sind demnach $C(e) = \{e\}$ $C((1 \, 2) (3 \, 4)) = \bigl\{(1 \, 2) (3 \, 4), (2 \, 3)(1 \, 4),(3 \, 1)(2 \, 4)\bigr\}$ $C((1 \, 2 \, 3)) = \bigl\{(1 \, 2 \, 3), (2 \, 4 \, 3), (1 \, 3 \, 4), (1 \, 4 \, 2) \bigr\}$ $C((1 \, 3 \, 2)) = \bigl\{ (1 \, 3 \, 2), (2 \, 3 \, 4), (1 \, 2 \, 4), (1 \, 4 \, 3)\bigr\}$ PS: Den Beitrag von DavidM habe ich zu spät gesehen.


   Profil
Quantenfluktuationen
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 08.06.2022
Mitteilungen: 47
  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-28

Super, danke an alle Beteiligten, ich habe es verstanden! :) Ich verstehe jetzt auch, wo eigentlich mein Verständnisproblem lag. Mir war der Begriff der Konjugation nicht ganz klar, also von der Definition her zwar schon, aber ich habe ihn auf die Konjugationsklassen nicht anwenden können. Deshalb habe ich nicht verstanden, mit welchen Elementen ich die Konjugationsrechnung überhaupt durchführen muss. Nun verstehe ich, dass Konjugation anschaulich bedeutet, dass die Konjugationsrechnung mit dem einem Element gleich dem anderen sein muss, damit diese zueinander konjugiert sind. Damit werde ich dieses Thema nun abhaken. Danke nochmal!!!


   Profil
Quantenfluktuationen hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Quantenfluktuationen hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Quantenfluktuationen wird per Mail über neue Antworten informiert.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]