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Mathematik » Topologie » Dichte G_δ-Menge eines kompakten Raumes
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Universität/Hochschule Dichte G_δ-Menge eines kompakten Raumes
Phi1
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  Themenstart: 2022-11-17

Hi! Ich versuche gerade, Folgendes zu zeigen: Es sei $X$ ein Polnischer Raum aufgefasst als dichte $G_\delta$-Menge eines kompakten metrischen Raums $\tilde{X}$ und $\tilde{\mu}$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $\tilde{X}$. Dann gilt: $\tilde{\mu}(\tilde{X}\setminus X)=0$. Ich finde keinen Ansatz, wie ich das machen sollte. Wäre für Vorschläge dankbar. MfG

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semasch
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-17

Moin Phi1, ich denke, dass die Aussage (in dieser Form zumindest) nicht gilt. Betrachte dazu $\tilde{X} := [0,1]$ mit der euklidischen Metrik, dann sind die irrationalen Zahlen in $[0,1]$, also (Komplemente bzgl. $\mathbb{R}$) $X := \mathbb{Q}^c \cap [0,1] = \bigcap_{q \in \mathbb{Q}} (\{q\}^c \cap [0,1])$ eine dichte $G_{\delta}$-Menge und $\tilde{\mu} := \delta_0$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $\tilde{X}$, aber $\tilde{\mu}(\tilde{X} \setminus X) = 1$. LG, semasch

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Phi1
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-17

Danke! Ich hab vergessen zu schreiben, dass $X$ ein Polnischer Raum ist, den man als dichte $G_{\delta}$-Menge eines kompakten metrischen Raumes auffasst. Sorry!

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Phi1
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-17

Könnte die Lösung etwa so aussehen: $X$ ist eine dichte $G_{\delta}-$Menge in $\tilde{X}$. Demnach gibt es $L\subseteq \tilde{X}$ dichte $G_{\delta}$-Menge. Dann: $X = \overline{L} = \tilde{X}$.

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