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Gewöhnliche DGL » Theorie der Gew. DGL » Eindeutigkeit der Lösung einer DGL
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Universität/Hochschule Eindeutigkeit der Lösung einer DGL
Danter
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Dabei seit: 18.04.2022
Mitteilungen: 6
  Themenstart: 2022-11-17

Hey ich brauche Hilfe bei einer Aufgabe, und zwar: Seien $g : I → R$ und $h : J → R$ stetige Funktionen definiert auf den Intervallen $I$ bzw. $J$, wobei $h$ sogar Lipschitzstetig ist. Ferner sei $x_0 ∈ I$ und $y_0 ∈ J$ mit $h(y_0) = 0$. Z.z.: $y(x) = y_0$ ist für alle $x ∈ I$ die einzige Lösung des Anfangswertproblems $y`(x) = g(x)h(y(x))$ mit $y(x_0) = y_0$ Ich habe schon gezeigt, dass: $f(t) ≤ M \int_o^tf(s) ds$ für alle $0 ≤ t ≤ T$, ein $M ≥ 0$ und $f : [0, T] → [0, ∞[$ stetige Funktion impliziert, dass $f(t)=0$ für alle $0 ≤ t ≤ T$. Das möchte ich nun auf die Funktion f(x) = $|y(x) − y˜(x)|$ anwenden , wobei $y˜(x)$ eine beliebige andere Lösung ist. Dann folgt nämlich automatisch $y = y˜$. Ich weiß aber nicht so richtig wie ich die Ungleichung zeigen kann. Mit freundlichen Grüßen Danter

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studkal
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Mitteilungen: 35
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\) Hi, ich würde versuchen, die Ungleichungen $$ y_1'(x) - y_2'(x) \leq M_1 \int_{x_0}^x f(\xi) \,d \xi, \quad x_0 \leq x \leq x_1 $$ und (analog) $$ y_2'(x) - y_1'(x) \leq M_2 \int_{x_0}^x f(\xi) \,d \xi, \quad x_0 \leq x \leq x_1 $$ zu zeigen, wobei $y_1,y_2$ Lösungen des Anfangswertproblems sind und $f(x) := | y_1'(x) - y_2'(x) |$. Daraus würde dann (nach einem kleinen Zwischenschritt) die Eindeutigkeit nach rechts folgen. Die Eindeutigkeit nach links erhält man analog durch eine sogenannte Zeitumkehr.\(\endgroup\)

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