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Integration » Lebesgue-Integral » Lebesgueintegral berechnen
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Universität/Hochschule Lebesgueintegral berechnen
konvergiert
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  Themenstart: 2022-11-21

Hallo liebe Helfermenschen, ich bitte um nachsehen, da ich immernoch erkaeltet bin. Ich habe folgende Aufgabe zu erldigen und bin vor allem zu Unsicher. Es bezeichne λ das Lebesgue-Maß auf \(\mathbb{R}\) (a) Berechnen Sie \[\lim \limits_{n \to \infty} \int\limits_{\mathbb{R}}\ \frac{|x|^{\frac{1}{n}}}{1+x^2}\,dλ(x)\] (b) Berechnen Sie \[\int_{[0,\infty)}\,\lim \limits_{t \to \infty} \frac{xt^{2}}{t^4+x^4}\,dλ(x)\] und \[\lim \limits_{t \to \infty} \int_{[0,\infty)}\, \frac{xt^{2}}{t^4+x^4}\,dλ(x)\] Ich war leider auch nicht bei der Vorlesung und in der Uebung wurde nichts zu dem Sachverhalt gemacht, jedoch habe ich alles gelesen, was in den Orientierungsnotizen angeschnitten wurde, also das entsprechende in der Literatur. Dennoch, die ueblichen Saetze fuer das reinziehen des limes sind nicht anwenbar. Teil eins von b) ist meiner Meinung nach 0, aber ich weiß nicht recht, wie ich das aufschreibe. Ich denke irgendwie die ganze zeit in Kaesten, Volumen, also raeumlich. Und Zerschneide das gedanklich, sowas, aber das kann ich kaum aufschreiben. zu den anderen: soll ich ein supremum bezueglich dieser Gedankenkaesten finden welches unter dem Integranten liegt, also Quasi etwas bauen, das diese beschreibt? in abhaengigkeit von t? bei a),b) ist der integrant monoton fallend bezueglich n, bzw. t Ich bin sehr dankbar fuer Richtungsweisen. Bei Fragen zur Herangehensweise in den Notizen, ueber einfache Funktionen, gern Fragen. Die Notizen haben noch 4 Weitere Seiten, die ich bisher nicht gesehen habe, beim groben ueberfliegen... denke ich sollte ich wohl dann wissen, was zu machen sei. melde mich aber dennoch nochmal zurueck falls nicht. LG Konvergiert


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ochen
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-21

Hallo, guck mal hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_der_majorisierten_Konvergenz Vielleicht hilft es dir.


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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-21

Hallo, also es war nur hilfreich, da ich nun a) die info habe, die mir hier getreilt wurde, vielen dank. dies kann ich also nutzen und auch, dass substituieren. Jedoch weiß ich immernoch nicht ganz wie es konkret aufgeschrieben werden muesse. bei a) ist \[\frac{1}{1+x^2}\] eine majorante, also \[arctan(x)+C\] ueber ganz \(\mathbb{R}\) waere das wieder 0? bei b) ist das Integral ueber den Limes, \[\int_{(0,\infty]}0\,d\lambda(x)=\int_{(0,\infty]}0\,dx=0\] und ueber einen laengeren Weg, zwei mal subtituieren, die Loesung fuer das zweite integral \[\frac{1}{2}arctan(\frac{x^2}{t^2})\] mit \[t \to \infty\] auch gleich Null?


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ochen
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-11-21

Hallo, es muss $\int_{\mathbb R}\frac{1}{1+x^2}dx>0$ sein, da der Integrand überall positiv und stetig ist. Auch ist \[\lim_{x\to \infty}\arctan(x) -\lim_{x\to-\infty}\arctan(x) >0.\]


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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-22

Hallo, vielen Dank. Ich hatte beim integrieren, flaechentechnisch direkt an den tangens gedacht. also punktsymetrisch, nicht mehr an die ausgangsfunktion. dann ist die antwort \(\pi\) sind die andern beiden aus b) soweit in Ordnung? wobei ich nun wegen der hintereinenderschaltung der limiten auf \(\frac{\pi}{4}\) komme. Ich danke dir sehr! LG Konvergiert


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ochen
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-11-22

Hm, zuerst einmal bin ich mir bei der a) unsicher, ob $\frac{1}{1+x^2}$ wirklich eine Majorante ist, aber ich denke, dass sich eine finden lässt. Bestimme diese oder zeige, dass $\frac{1}{1+x^2}$ tatsächlich eine ist. Bei der b) ist es tatsächlich so, dass im ersten Integral der Integrand schon Null ist und im zweiten Integral etwas echt positives rauskommt. Insofern kann es keine majorisierende Funktion geben, denn der Satz von Lebsgue ist eben nicht anwendbar.


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