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| Autor |
  Unabhängigkeit von Ereignissen |
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injektiv
Junior 
Dabei seit: 10.03.2021
Mitteilungen: 19
 |  Themenstart: 2022-11-23
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Liebes Forum,
ich habe folgende Aufgabe:
Sei \Omega = [0,1]^2 mit der stetigen Gleichverteilung \IP und X_i : \Omega -> [0,1], (\omega_1, \omega_2) |-> \omega_i die kanonischen Projektionen.
Zeigen Sie, dass für beliebige \alpha, \beta \el\ \IR die Ereignisse {X_1 <= \alpha} und {X_2 <= \beta} unabhängig sind.
Nun lauten meine Fragen:
1. Was ist eine stetige Gleichverteilung? Intuition?
2. Was macht die Abbildung der Tupel? Intuition?
3. Wie zeige ich die Unabhängigkeit?
Vielen Dank schon einmal im Voraus.
Liebe Grüße
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 Profil
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luis52
Senior 
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 999
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-23
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\(\begingroup\)\(%****************************************************************
%************************** Abkuerzungen ************************
%****************************************************************
\newcommand{\eps}{\epsilon}
\newcommand{\veps}{\varepsilon}
\)
Moin,
1. Die gemeinsame Verteilung von $(X_1,X_2)\colon\Omega^2\to\IR^2$ ist gegeben durch die gemeinsame Dichte $f(x,y)=1$ fuer $0\le x,y\le 1$ und $0$ sonst. Intuitiv das eine Tischplatte ueber $[0,1]\times[0,1]$ mit den Kantenlaengen und der Hoehe $1$.
2. $X_1$ besitzt eine Randdichte $f_1(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,dy=1$ fuer $0\le x\le 1$ und $0$ sonst. Das ist ein Strich ueber $[0,1]$ der Hoehe 1, sonst $0$. Analog fuer $X_2$.
3. Zeige $P(X_1\le\alpha,X_2\le \beta)=P(X_1\le\alpha)\cdot P(X_2\le \beta)$.
vg Luis
\(\endgroup\)
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10685
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.2, eingetragen 2022-11-23
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
die Antwort auf Frage 1) verrate ich mal noch nicht, denn sonst steht im Prinzip die Lösung schon da.
Was eine Gleichverteilung ist, ist dir klar? Hier sind einfach die Zufallsvariablen \(X_i\) stetig, von daher ist es eine stetige Gleichverteilung.
Zu 2): die Abbildung projiziert die Tupel auf eine der beiden Randverteilungen.
Zu 3): das ergibt sich hier letztendlich über die Definition der stochastischen Unabhängigkeit, wenn man die beiden Randverteilungen und die gemeinsame Verteilung hinschreibt...
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]\(\endgroup\)
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StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8294
Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.3, eingetragen 2022-11-23
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\quoteon(2022-11-23 12:09 - injektiv im Themenstart)
1. Was ist eine stetige Gleichverteilung? Intuition?
\quoteoff
Intuitiv: Alle Punkte des Einheitsquadrats \([0,1]\times[0,1]\) können vorkommen. Alle Punkte sind "gleichberechtigt" und kein Bereich des Einheitsquadrats (z. B. das Zentrum oder eine Ecke) kommt irgendwie bevorzugt vor.
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injektiv hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
injektiv hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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