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Lineare Algebra » Vektorräume » Wenn x_1, ... x_n Basis, dann auch y_1,...,y_n?
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Universität/Hochschule Wenn x_1, ... x_n Basis, dann auch y_1,...,y_n?
hanna01
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  Themenstart: 2022-11-25

Hallo, die Aufgabe ist, dass \(x_1, ..., x_n\) die Basis eines K-Vektorraums V ist. Für gegebene Koeffizienten \(\alpha_{ij} \in K, 1 \leq i < j \leq n\) sei \(y_j = x_j + \sum_{i


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ochen
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-25

Hallo, versuche es erstmal für $n=1$ oder $n=2$. Du musst ein lineares Gleichungssystem lösen, bei dem die Koeffizientenmatrix eine Dreiecksmatrix mit Einsen auf der Diagonalen ist. Viele Grüße


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-11-25

Hallo, ich würde besser zeigen, dass die \(y_1,...,y_n\) ein Erzeugendensystem bilden. (Wieso bist du dann fertig?) Hierzu reicht es zu zeigen, dass die \(x_j\) als Linearkombination der \(y_1,...,y_n\) darstellbar sind. (Wieso bist du dann fertig?) Zeige das mit Induktion über j.


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hanna01
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-25

Wenn \(y_1, ... y_n\) Erzeugendensystem, dann ist \(y_1, ..., y_n\) Basis, denn \(y_1, ..., y_n\) hat genauso viele Elemente (n) wie die Basis \(x_1, ..., x_n\) und Basen haben immer die gleiche Anzahl an Elementen. Dass die \(x_j\) als Linearkombination der \(y_1, ... y_n\) dargestellt werden können, reicht wahrscheinlich aus dem gleichen Grund, also, dass \(x_1,..., x_n\) eine Basis ist? Da man alle Elemente aus V mit den x darstellen kann, kann man auch alle Elemente aus V mit den y darstellen, wenn man alle x mit den y darstellen kann. Bei der Induktion verstehe ich nicht ganz, ab wann ich sagen kann, dass ich fertig bin. Für n=1 kann ich sagen, dass \(x_1 = \alpha_{11} x_1\). Darf ich das einfach so sagen? Ich habe ja nichts gezeigt, sondern nur gesagt, das ist so, oder? Die Induktionsvoraussetzung ist, dass \(x_j\) für \( j \in \mathbb{N} )\ als \( \sum_{j=1}^{n} \alpha_{ij} y_{j}\) darstellbar ist. Ich muss zeigen, dass \( x_{j+1} )\ als \( \sum_{i=1}^{j+1} \alpha_{i,j+1} y_{j+1}\) darstellbar ist. Dazu kann ich schreiben \(\sum_{j=1}^{j+1} \alpha_{i,j+1} y_i = \sum_{i=1}^j \alpha_{i,j+1} y_i + \alpha_{j+1,j+1} y_{j+1} \) Mit der IV folgt dann \(x_j + \alpha_{j+1,j+1} y_{j+1}\). Ich setze nun die Definition von y ein: \(x_j + \alpha_{j+1,j+1} (x_{j+1} + \sum_{i


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MartinN
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-11-25

Was soll a_1,1 sein? Überprüf nochmal, wie du die y berechnest. Und die willst die x_i ja mit den y_i darstellen, aber bei deinem Induktionsanfang machst du das ja gar nicht?


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ochen
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-11-25

Hallo nochmal, sei $n$ fest. Du möchtest $\text{span}\{x_1,\ldots,x_m\}=\text{span}\{span\}\{y_1,\ldots,y_m\}$ für alle $m$ mit $1\leq m\leq n$ zeigen. Für $m=1$ gilt $x_1=y_1$. Es gelte also $\text{span}\{x_1,\ldots,x_{m-1}\}=\text{span}\{y_1,\ldots,y_{m-1}\}$. Nun stelle $x_m$ als Linearkombination von $y_m$ und einigen $x_i$ dar. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]


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Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
StrgAltEntf
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-11-28

Hier noch eine etwas verspätete Rückmeldung. \quoteon(2022-11-25 13:47 - hanna01 in Beitrag No. 3) Wenn \(y_1, ... y_n\) Erzeugendensystem, dann ist \(y_1, ..., y_n\) Basis, denn \(y_1, ..., y_n\) hat genauso viele Elemente (n) wie die Basis \(x_1, ..., x_n\) und Basen haben immer die gleiche Anzahl an Elementen. Dass die \(x_j\) als Linearkombination der \(y_1, ... y_n\) dargestellt werden können, reicht wahrscheinlich aus dem gleichen Grund, also, dass \(x_1,..., x_n\) eine Basis ist? Da man alle Elemente aus V mit den x darstellen kann, kann man auch alle Elemente aus V mit den y darstellen, wenn man alle x mit den y darstellen kann. \quoteoff Das ist im Wesentlichen richtig. \quoteon(2022-11-25 13:47 - hanna01 in Beitrag No. 3) Für n=1 kann ich sagen, dass \(x_1 = \alpha_{11} x_1\). Darf ich das einfach so sagen? Ich habe ja nichts gezeigt, sondern nur gesagt, das ist so, oder? \quoteoff Das stimmt so nicht. Aber es ist \(x_1=y_1\). Also hast du \(x_1\) als Linkombi der \(y_i\) dargestellt. \quoteon(2022-11-25 13:47 - hanna01 in Beitrag No. 3) Die Induktionsvoraussetzung ist, dass \(x_j\) für \( j \in \mathbb{N} \) als \( \sum_{j=1}^{n} \alpha_{ij} y_{j}\) darstellbar ist. Ich muss zeigen, dass \( x_{j+1} \) als \( \sum_{i=1}^{j+1} \alpha_{i,j+1} y_{j+1}\) darstellbar ist. \quoteoff Die Koeffizienten sind hier sicherlich nicht die \(\alpha_{ij}\) aus der Definition der \(y_j\). Du solltest hier andere Buchstaben verwenden. \quoteon(2022-11-25 13:47 - hanna01 in Beitrag No. 3) Dazu kann ich schreiben \(\sum_{j=1}^{j+1} \alpha_{i,j+1} y_i = \sum_{i=1}^j \alpha_{i,j+1} y_i + \alpha_{j+1,j+1} y_{j+1} \) Mit der IV folgt dann \(x_j + \alpha_{j+1,j+1} y_{j+1}\). Ich setze nun die Definition von y ein: \(x_j + \alpha_{j+1,j+1} (x_{j+1} + \sum_{i


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