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Mathematik » Numerik & Optimierung » Gram-Schmidt-Verfahren mit Störung des Skalarprodukts
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Universität/Hochschule J Gram-Schmidt-Verfahren mit Störung des Skalarprodukts
JamesNguyen
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Mitteilungen: 282
  Themenstart: 2022-11-25

Hallo, ich brauche bei Folgendem Hilfe. Gegeben seien zwei linear unabhängige Vektoren $a,b \in \IR^n$ mit $\|a\| = \|b\| = 1$. Dabei bezeichne $\|\cdot\|=\|\cdot\|_2$ die Euklidische Norm. Mit Hilfe des Gram-Schmidt-Verfahrens sollen dies Vektoren orthonormalisiert werden; d.h. es gilt, ein Orthonormalsystem ${q^1,q^2}$ zu bestimmen, das $span\{q^1,q^2\}=span\{a,b\}$ erfüllt. Bekanntlich lautet das Verfahren für eine beliebige Anzahl an Vektoren $a^1,...,a^m,m \in \IN,$ $q^1:=a^1/\|a^1\|;$ $FOR$ $j=2:m$ $z^j:=a^j-\sum_{i=1}^{j-1}(q^i)^T a^j q^i;$ $q^j:=z^j/\|z^j\|;$ $END$ Untersuchen Sie, inwieweit sich kleine Störungen bei der Berechnung des Skalarprodukts $a^Tb$ auf die Orthonormalität von $q^1$ und $q^2$, d.h. auf den Winkel zwischen $q^1$ und $q^2$, auswirken. Diskutieren Sie insbesondere den Fall, dass $a$ und $b$ fast linear abhängig sind, d.h. $|a^T b|\approx\|a\|\|b\|=1$ gilt. $Hinweis$: Der Winkel $\alpha$ zwischen zwei Vektoren $a,b$ ist gegeben durch $a^T b=\|a\|\|b\|$ $cos$ $\alpha$. Ich bin mir unsicher, wie der Term aussehen soll auf den man hier hinaus will und wie man diesen dann diskutieren kann. Das Verfahren ist bei den hier gegeben Vektoren klar: $q^1=a^1$ $z^2=b-rd(a^T b)a$ $\|z^2\|=\sqrt{rd(b^T b) - 2(rd(a^T b))^2+(rd(a^T b))^2 \cdot rd(a^T a)}$ $=\sqrt{rd(b^T b)+(rd(a^T b))^2(rd(a^T a)-2)}$ $q^2=z^2/\|z^2\|=\frac{b-rd(a^T b)a}{\sqrt{rd(b^T b)+(rd(a^T b))^2(rd(a^T a)-2)}}$ Schließlich kann man dann $(q^1)^T q^2$ oder $|(q^1)^T q^2|$ berechnen. $(q^1)^T q^2=\frac{a^T(b-rd(a^T b)a)}{\sqrt{rd(b^T b)+(rd(a^T b))^2(rd(a^T a)-2)}}$ $=\frac{rd(a^T b)-rd(a^T b)rd(a^T a)}{\sqrt{rd(b^T b)+(rd(a^T b))^2(rd(a^T a)-2)}}$ $=\frac{rd(a^T b)(1-rd(a^T a))}{\sqrt{rd(b^T b)+(rd(a^T b))^2(rd(a^T a)-2)}}$ Wie kann man das angehen? (Ich rechne gerade dran) Vielen Dank, James


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JamesNguyen
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-26

Also habe nochmal drüber nachgedacht und ändere gerade obigen Eintrag ab. Ich denke es ist in der Aufgabenstellung natürlich so gemeint. Wir nehmen an, dass am Computer gerechnet wird. Wir nehmen an, dass dabei alles exakt berechenbar bleibt - bis auf das Skalarprodukt. Allgemein soll für zwei Vektoren $x,y \in \IR^n$ also dann gelten. Mit Maschinenzahl $rd(x^T y)$. $rd(x^T y)=x^T y(1+\epsilon)$, mit $|\epsilon|


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JamesNguyen
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-26

Ich lade später meinen Lösungsvorschlag hoch. Ich bin glaube ich auf etwas Sinnvolles gekommen. Vielen Dank, James


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JamesNguyen
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-26

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JamesNguyen hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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