| Autor |
  Punkttransformation für ein Teilchen mit Zwangsbedingungen |
|
Lambda88
Aktiv 
Dabei seit: 08.05.2014
Mitteilungen: 260
 |  Themenstart: 2022-11-26
|
Hi,
ich komme leider mit der folgenden Aufgabe a und b nicht weiter
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/39767_Bildschirmfoto_2022-11-26_um_19.00.23.png
Da ich leider mit der allgemeinen Form also $f(x)$ etwas verwirrt war, habe ich einfach folgendes angenommen $f(x)=4x+x^2$ und meine Rechnung damit erst einmal vorgenommen.
$\textbf{Aufgabe a}$
Da es keine sonstigen Kräfte gibt, besteht die Lagrange Funktion nur aus dem kinetischen Anteil, also $L=T$
Dann gilt folgendes $L=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2)$
Jetzt stelle ich die Langange Funktion nur mit x da
$x=x , \qquad \dot{x}=\dot{x} \qquad \dot{x}^2=\dot{x}^2 $
$x=4x+x^2 , \qquad \dot{y}=4\dot{x}+\dot{x}^2 \qquad \dot{y}^2=(4\dot{x}+\dot{x}^2)^2 $
Einsetzen in die Lagrange Funktion liefert dann $L=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+(4\dot{x}+\dot{x}^2)^2)$
$\textbf{Aufgabe b}$
Jetzt muss ich ja die Euler-Lagrange Gleichung bestimmen, diese wurde in meiner Vorlesung wie folgt definiert $\frac{\partial L}{\partial x}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=0$
$\frac{\partial L}{\partial x}=0$
$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m\dot{x}+2m(4\dot{x}+\dot{x}^2)(4+2\dot{x})=g$
$\frac{dg}{dt}=m\ddot{x}+2m(4\ddot{x}+\ddot{x}^2)2\ddot{x}$
$\frac{\partial L}{\partial x}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m\ddot{x}+2m(4\ddot{x}+\ddot{x}^2)2\ddot{x}=0$
Zurück zu der allgemeinen Formulierung, damit müssten die Aufgaben a und b wie folgt lauten
$\textbf{Aufgabe a}$
$L=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{f}^2(x))$
$\textbf{Aufgabe b}$
$\frac{\partial L}{\partial x}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m\ddot{x}+2\ddot{f}(x)\ddot{f'}(x)$
Wäre das so richtig?
|
 Profil
|
Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46686
Wohnort: Dresden
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-26
|
\quoteon(2022-11-26 19:33 - Lambda88 im Themenstart)
Wäre das so richtig?
\quoteoff
Hi Lambda88,
nein.
Wenn du ein Produkt differenzierst, musst du die Produktregel verwenden, es ist völlig falsch, die Faktoren einzeln abzuleiten und das Ganze als Produkt stehenzulassen. Deine Überlegungen enthalten zahlreiche weitere Fehler, vor allem beim Ableiten. Setze dich gründlich mit Ableitungsregeln auseinander.
Gruß Buri
|
Profil
|
jmd
Aktiv 
Dabei seit: 16.11.2016
Mitteilungen: 123
| Beitrag No.2, eingetragen 2022-11-26
|
f^* (x)=f^'(x) x^*
Stimmt das? Ich frag nur
|
Profil
|
Lambda88
Aktiv 
Dabei seit: 08.05.2014
Mitteilungen: 260
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-27
|
Danke Buri das du über meine Rechnung geschaut hast und auch Danke an jmd für deine Hilfe 👍
Ich war leider etwas verwirrt, mit der allgemeinen Darstellung von $f(x)$ habe mir dann für $\frac{df(x)}{dt}$ $f(x)$ wie folgt dargestellt $f(x(t))$ dann müsste ich ja mit der Kettenregel ableiten $\frac{f(x)}{dx}\frac{dx}{dt}$ und erhalte $f'(x)\dot{x}$ damit würde nun die Aufgabenteile a und b wie folgt aussehen
$\textbf{Aufgabe a}$
$L=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+f'(x)^2\dot{x}^2)$
$\textbf{Aufgabe b}$
$\frac{\partial L}{\partial x}=mf'(x)\dot{x}^2$
$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m\dot{x}+mf'(x)^2\dot{x}=g$
$\frac{dg}{dt}=m\ddot{x}+2mf'(x)\dot{x}^2+mf'(x)^2\ddot{x}$
$\frac{\partial L}{\partial x}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=-m\ddot{x}-mf'(x)^2\ddot{x}-mf'(x)\dot{x}^2$
Bezüglich Aufgabenteil c und d
$\textbf{Aufgabe c}$
$|l(x)|=\int_{x_0}^{x} \sqrt{1+f'(x)^2}dx $
$\textbf{Aufgabe d}$
Ich würde jetzt einfach die Kurve parametrisieren $l(x)=\left(\begin{array}{c} x \\ f(x) \end{array}\right)$ von $[x_0,x]$ mit $l_1=x$ und $l_2=f(x)$
Dann würde die Lagrange funktion wie folgt aussehen $L=\frac{1}{2}m(\dot{l_1}^2+\dot{l_2}^2)$
|
Profil
|
jmd
Aktiv
Dabei seit: 16.11.2016
Mitteilungen: 123
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-11-27
|
\quoteon(2022-11-27 13:00 - Lambda88 in Beitrag No. 3)
$\textbf{Aufgabe a}$
$L=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+f'(x)^2\dot{x}^2)$
\quoteoff
Ich würde das so schreiben
$L=\frac{1}{2}m\dot{x}^2(1+f'(x)^2)$
\quoteon(2022-11-27 13:00 - Lambda88 in Beitrag No. 3)
$\textbf{Aufgabe b}$
$\frac{\partial L}{\partial x}=mf'(x)\dot{x}^2$
\quoteoff
da fehlt die innere Ableitung
$\frac{\partial L}{\partial x}=m\dot{x}^2f'(x)f''(x)$
|
Profil
|
Lambda88
Aktiv
Dabei seit: 08.05.2014
Mitteilungen: 260
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-28
|
Danke jmd für den Hinweis 👍
Ist die Teilaufgabe c und d denn richtig?
|
Profil
|
jmd
Aktiv
Dabei seit: 16.11.2016
Mitteilungen: 123
| Beitrag No.6, eingetragen 2022-11-28
|
c) da würde ich die Betragsstriche weglassen. Bin mir aber nicht sicher
$l(x)=\int_{x_0}^{x} \sqrt{1+f'(x)^2}dx $
d)
$(\frac{dl}{dx})^2=1+f'(x)^2 $
hier einsetzen
$L=\frac{1}{2}m\dot{x}^2(1+f'(x)^2)$
man hat dann
$L=\frac{1}{2}m(\frac{dx}{dt})^2(\frac{dl}{dx})^2$
und schließlich
$L=\frac{1}{2}m(\frac{dl}{dt})^2$
x gegen l getauscht. Das nennt man dann Punkttransformation
|
Profil
|
Lambda88
Aktiv
Dabei seit: 08.05.2014
Mitteilungen: 260
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-29
|
Vielen Dank jmd für deine Hilfe 👍
|
Profil
|
Home / Seite ohne Frame
2023-02-08 20:03 U
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
