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| Autor |
 p-Sylowgruppen der S_n |
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nitram999
Aktiv 
Dabei seit: 11.02.2019
Mitteilungen: 413
Wohnort: Würzburg
 |  Themenstart: 2022-11-28
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Hallo,
ich habe folgende Frage:
Woher weiß man, dass die p-Sylowgruppen der S_n abelsch sind, wenn p<=n
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 Profil
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ligning
Senior 
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3519
Wohnort: Berlin
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-28
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Hallo,
denk mal darüber nach, was die Ordnung einer $p$-Sylowgruppe in diesem Fall ist. Was ist die Ordnung von $S_n$? Wie ist eine $p$-Sylowgruppe definiert? Was sagt dir die Bedingung $n[Verschoben aus Forum 'Strukturen und Algebra' in Forum 'Gruppen' von ligning]
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nitram999
Aktiv
Dabei seit: 11.02.2019
Mitteilungen: 413
Wohnort: Würzburg
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-28
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Hallo ligning,
danke für deine Antwort!
Also folgendes weiß man: abs(S_n)=n!.
Jede Untergruppe von S_n mit Ordnung p^m , m\el\ \IN_0 , wobei p^m die maximale p-Potenz ist, die abs(S_n) teilt, ist eine p-Sylowgruppe von S_n
Dennoch weiß ich nicht wirklich, wie man hier herangeht. Ich wollte versuchen, irgendwie die Anzahl n_p der p-Sylowgruppen von S_n zu bestimmen. Jedoch fällt mir das hier schwer.
Man kann auch schlecht Sätze verwenden wie:
-Gruppen von Primzahlordnung sind zyklisch also insbesondere abelsch.
-Gruppen von Primquadratordnung sind abelsch (nach Struktursatz).
Weil es kann ja auch sein, dass eine p-Sylowgruppe Ordnung p^4 hat für den Fall z.B. p=5 und n=20, denn 5<=20<25=5^2 und abs(S_20)=5^4 *Restfaktoren.
Vielen Dank für weitere Hinweise!
LG nitram999
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helmetzer
Senior
Dabei seit: 14.10.2013
Mitteilungen: 1595
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-11-28
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https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=174266&post_id=1285687
Habe es selber nicht weiter angeschaut.
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ligning
Senior
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3519
Wohnort: Berlin
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-11-28
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Ich hab die Aufgabe wohl ein bisschen unterschätzt.
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nitram999
Aktiv
Dabei seit: 11.02.2019
Mitteilungen: 413
Wohnort: Würzburg
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-28
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Danke helmetzer!
In dem Beitrag gehts schon eher um Details, die mir aktuell noch nicht wirklich viel weiterhelfen.
LG nitram999
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hippias
Senior 
Dabei seit: 06.01.2017
Mitteilungen: 313
| Beitrag No.6, eingetragen 2022-11-30
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Sei $X$ eine Menge der Mächtigkeit $n$. Sei $S$ eine $p$-Sylowgruppe von $S(X)$. Ziel ist es zu zeigen, dass für die Kommutatorgruppe $S'=1$ gilt.
1. Überzeuge dich von der Richtigkeit der Behauptung, wenn $n=p$ ist.
2. Überlege dir die möglichen Bahnlängen der Operation von $S$ auf $X$ (hier geht die Voraussetzung ein).
3. Ist $Y\subseteq X$ ein $S$-Orbit der Länge $p$, so betrachte die Einschränkung der Operation von $S$ auf $Y$. Überlege dir, wie $S'$ auf $Y$ operiert, indem du 1. berücksichtigst.
Kombiniere nun alles.
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| nitram999 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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