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 Dimension von Hom(V,V´) bestimmen |
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hanna01
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 |  Themenstart: 2022-11-28
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Hallo, ich soll für beliebige K-Vektorräume V, V´ die Dimension des Raums Hom(V, V´) bestimmen, also dem Vektorraum aller Homomorphismen von V nach V´.
Ich gehe davon aus, dass ich die Dimensionsformel \( \dim_{K}V = \dim_{K} (ker (f)) + \dim_{K} (im (f)) \) benutzen muss, da dass der einzige Satz in dem Kapitel ist, der lineare Abbildungen und Dimensionen enthält. Wenn ich das richtig sehe, müsste ich also eine lineare Abbildung mit dem Raum Hom(V,V´) als Definitionsmenge festlegen und darauf dann die Formel anwenden.
Nun hab ich aber überhaupt keine Idee, welche Abbildung ich hier wählen könnte. Die trivialen Abbildungen, die Funktion mit einem Faktor zu multiplizieren oder auf die null zu schicken, bringen nichts, da entweder Bild oder Kern dann 0 werden und das jeweils andere den gesamten Raum Hom(V, V´) umfasst und man so nur gezeigt hat, dass dim(Hom(V,V´)) = dim(Hom(V,V´)). Umkehrabbildungen gibt es ja nicht zwingend und sonst fällt mir einfach gar keine Funktion ein, die allgemein linear wäre.
Vielleicht kann mir jemand eine Idee geben, wie ich da rangehen kann?
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ligning
Senior 
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-28
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\quoteon(2022-11-28 14:37 - hanna01 im Themenstart)
Ich gehe davon aus, dass ich die Dimensionsformel \( \dim_{K}V = \dim_{K} (ker (f)) + \dim_{K} (im (f)) \) benutzen muss, da dass der einzige Satz in dem Kapitel ist, der lineare Abbildungen und Dimensionen enthält.
\quoteoff
Hallo,
diese Idee ist nicht zielführend.
Kennst du den Zusammenhang zwischen linearen Abbildungen und Matrizen?
[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Lineare Abbildungen' von ligning]
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hanna01
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-28
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Ja, man kann eine lineare Abbildung auf Basisvektoren des Definitionsraums anwenden und diese dann in die Spalten einer Matrix schreiben. Das könnte man für eine lineare Abbildung von V nach V´ auch machen. Dann hätte man eine Matrix, wobei deren Spaltenanzahl gleich der Dimension von V ist.
Die Zeilenanzahl müsste dann gleich der Dimension von V´ sein, weil die Spalten ja gerade die Bilder von den Basisvektoren von V, also Elemente aus V´ sind.
Ich kann mit einer entsprechenden Matrix ja jedes Element aus der Menge Hom(V, V´) eindeutig darstellen, also ist die Matrix selber eine Basis von der Menge Hom(V, V´) und diese hat somit die Dimension dim(V) * dim(V´).
Da sind ja noch einige Aussagen drin, die man noch beweisen müsste, aber geht das grob in die richtige Richtung?
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ligning
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-11-28
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Ja, das ist definitiv die richtige Richtung. Habt ihr dazu nichts in der Vorlesung gemacht?
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Kathleen_IIa
Junior
Dabei seit: 08.11.2022
Mitteilungen: 5
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-11-28
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Also, das geht so:
Wir zeigen, dass vermöge der $\Bbb{K}$-linearen Abbildungen
$ F^i_j(b_k) = \left \{ \begin{array} {r@{\quad: \quad}l}
c_j & i = k \\ 0 & sonst
\end{array} \right. $
eine Basis von $ Hom_{\Bbb{K}}(V,W) $ angegeben ist, dim V= n, dim W = m
D.h. die Homomorphismen $ F^i_j $ bilden den i-ten Basisvektor $ b_i \in \mathcal{B} $ von V auf den Basisvektor $ c_j \in \mathcal{C} $ von W ab und jene mit $ i \not= k $ auf die Null.
Die Matrizen dieser Abbildungen lauteten mithin $ M^{\mathcal{C}}_{\mathcal{B}} (F^i_j) = \Bbb{E}^i_j $
mit den Basisvektoren $ \Bbb{E}^i_j $ von $ Mat(m \times n;\Bbb{K}) $, welches mxn-Matrizen sind, in denen in der i-ten Spalte und der j-ten Zeile "1" steht, sonst Nullen.
Und mit dem bekannten Isomorphismus $ Hom_{\Bbb{K}}(V,W) \cong Mat(m \times n;\Bbb{K}) $ folgt die Behauptung.
Siehe auch G. Fischer Lineare Algebra, 18. Auflage, Absatz unter dem Zusatz zu Satz 2.4.2. Hier sind auch in dieser Auflage immer noch die Indices i und j in
$ M^{\mathcal{C}}_{\mathcal{B}} (F^i_j) = \Bbb{E}^i_j $ vertaucht, offensichtlich ein Fehler.
Ich habe es Prof. Fischer schon gemailt, mal schauen, ob er antwortet..🙂
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hanna01
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 17.11.2022
Mitteilungen: 30
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-29
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Vielen Dank euch, jetzt klingt das total logisch und auch viel einfacher als das, was ich ursprünglich vorhatte...
Ich arbeite mit einem Buch und da werden Matrizen ganz formal erst einige Kapitel später eingeführt, deswegen hätte ich jetzt auch nicht gewusst, wie man das alles formal aufschreibt. In ein paar Begleitsätzen wurde aber schon erwähnt, dass man LA schreiben kann, indem man die Vektoren hintreinander aufreiht.
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Kathleen_IIa
Junior
Dabei seit: 08.11.2022
Mitteilungen: 5
| Beitrag No.6, eingetragen 2022-11-29
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Ja, kar!
Und Herr Professor Fischer will es nun auch in seiner 20. Auflage dieses schon fast kanonischen LA Lehrbuches korrigieren wie er mir gerade zurück mailt🙂
Übrigens gilt stets die kanonische Isomorphie
$ Hom(V,W) \cong V^\star \otimes W $
im endlich dimensionalen Fall und man kann mit obiger Konstruktion sofort eine Basis für
$ V^\star \otimes W $
anschreiben...
Die bilineare Abb. $ \otimes $
ist i.A. nicht surjektiv aber
$ V^\star \otimes W $
wird von deren Bildern aufgespannt...
Aber multilineare Algebra erkläre ich in einem anderen Post (in Vorbereitung)
🙂
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