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Physik » Elektrodynamik » Magnetfeldrichtung Toroid-Spule
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Universität/Hochschule Magnetfeldrichtung Toroid-Spule
Chrisnczk
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  Themenstart: 2022-11-28

Hey, wie zeige ich anhand von Symmetriegründen und mithilfe des Biot-Savart-Gesetzes, dass eine torodiale Spule (Ringspule) ein Magnetfeld besitzt, welches in phi-Richtung zeigt?


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Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
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semasch
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-03

Moin Chrisnczk, die Aussage gilt allgemeiner für eine jede Stromverteilung mit -dichte der Form \[ \mathbf{j}(\mathbf{r}) = j_r(r,z) \mathbf{e}_r + j_z(r,z) \mathbf{e}_z, \] wobei $(r,\varphi,z)$ die üblichen Zylinderkoordinaten bezeichnet. Mithilfe des Biot-Savart-Gesetzes für das Vektorpotential $\mathbf{A}(\mathbf{r)}$ lässt sich zeigen, dass dieses dann die gleiche Form wie auch die Stromdichte hat, also \[ \mathbf{A}(\mathbf{r}) = A_r(r,z) \mathbf{e}_r + A_z(r,z) \mathbf{e}_z; \tag{1} \] in Worten: Das Vektorpotential besitzt nur eine $r$- und $z$-Komponente, keine $\varphi$-Komponente, und diese hängen nur von $r$ und $z$, nicht von $\varphi$, ab, wenn das schon für die erzeugende Stromdichte gilt. Hat man das gezeigt, folgt die zu zeigende Aussage direkt aus $\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \mathbf{\nabla} \times \mathbf{A}(\mathbf{r})$ mithilfe des Ausdrucks für die Rotation in Zylinderkoordinaten, wie man ihn etwa hier findet (man sieht zusätzlich, dass die überlebende $\varphi$-Komponente des Magnetfelds auch nicht von $\varphi$ abhängt, was aus Symmetriegründen aber auch intuitiv klar ist). Das Biot-Savart-Gesetz lautet nun: \[ \mathbf{A}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int d^3r' \frac{\mathbf{j}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int d^3r' \frac{j_r(r',z') \mathbf{e}_r' + j_z(r',z') \mathbf{e}_z'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} = (*) \tag{2} \] Zeige und verwende nun, dass \[ \mathbf{e}_r' = \cos(\varphi') \mathbf{e}_x + \sin(\varphi') \mathbf{e}_y = \cos(\varphi'-\varphi) \mathbf{e}_r + \sin(\varphi'-\varphi) \mathbf{e}_{\varphi}, \quad \mathbf{e}_z' = \mathbf{e}_z \] gilt, um aus $(2)$ zu \[ (*) = \left[\frac{\mu_0}{4 \pi} \int d^3r' \frac{j_r(r',z') \cos(\varphi'-\varphi)}{\sqrt{r^2+r'^2-2rr'\cos(\varphi'-\varphi)+(z-z')^2}}\right] \mathbf{e}_r + \left[\frac{\mu_0}{4 \pi} \int d^3r' \frac{j_r(r',z') \sin(\varphi'-\varphi)}{\sqrt{r^2+r'^2-2rr'\cos(\varphi'-\varphi)+(z-z')^2}}\right] \mathbf{e}_{\varphi} + \left[\frac{\mu_0}{4 \pi} \int d^3r' \frac{j_z(r',z')}{\sqrt{r^2+r'^2-2rr'\cos(\varphi'-\varphi)+(z-z')^2}}\right] \mathbf{e}_z. \] zu gelangen. Daraus kannst du die Komponenten des Vektorpotentials in Zylinderkoordinaten ablesen. Schreibe nun die dort vorkommenden Integrale in Zylinderkoordinaten auf und setze die Integration über $\varphi'$ als Innerste an. Zeige dann mithilfe der Periodizitäts- und Symmetrieeigenschaften von $\cos$ und $\sin$, dass die gewünschte Form aus $(1)$ vorliegt. LG, semasch


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