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Mathematik » Numerik & Optimierung » Restglieddarstellung mit dividierten Differenzen
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Universität/Hochschule Restglieddarstellung mit dividierten Differenzen
Carly2004
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.06.2022
Mitteilungen: 42
  Themenstart: 2022-11-28

Hallo, ich habe bei folgender Aufgabe Probleme: Sei I=intervall(a,b), f\el\ C^(n+1)(I) und p_n\el\ P_n das Interpolationspolynom zu den Daten (x_i, f_i) ) mit x_i\el\ I und f_i = f(x_i) , i = 0, . . . , n. Zeigen Sie, dass für alle x ∈ I gilt: f[x0, . . . , xn, x] = (f^(n+1)(\xi)/(n+1)! für ein \xi\el\ [x_0, x] . Wir dürfen verwenden, dass x_0<...

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StefanVogel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 4329
Wohnort: Raun
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-11

\ Hallo Carly2004, die fehlende Zutat ist eine Gleichung wie p_n(x)=p_(n-1)(x)+w_n f[x_0, \cdots , x_n]. Wenn die gilt für alle n, kann man die Behauptung herleiten, sogar ohne die genaue Bedeutung der w_n, p_n, f[...] zu kennen. Die Variable \xi ist abhängig vom konkret gewählten x. Ich bezeichne dieses gewählte x als x_(n+1) und bestimme das Interpolationspolynom zu den Stützstellen x_0 bis x_(n+1): p_(n+1)(x)=p_n(x)+w_(n+1) f[x_0, \cdots , x_(n+1)] umgestellt p_(n+1)(x) - p_n(x) = w_(n+1) f[x_0, \cdots , x_(n+1)] und wegen p_(n+1)(x_(n+1)) = f(x_(n+1)) erhält man aus dem Ansatz f(x)-p_n(x)=w_(n+1)(f^(n+1)(\xi)/(n+1)! die Behauptung f[x_0, \cdots , x_(n+1)] = f^(n+1)(\xi)/(n+1)! wo man noch x_(n+1) in x zurückbennenen muss. Viele Grüße, Stefan

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Carly2004 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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