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Universität/Hochschule J Funktionalanalysis, schwache Konvergenz, Gegenbeispiel
KaSt
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 18.02.2022
Mitteilungen: 26
  Themenstart: 2022-11-28

Hallo ans Forum, ich habe folgende Aufgabe bekommen: Für jedes $k \in \mathbb{N}$ sei $x^k \in l^{\infty}$ mit $x_n^k:= 1$ für $ n \le k$ und $x_n^k:= 0$ sonst. \[Zeigen sie: (x_n^k)_{k \in \mathbb{N} konvergiert nicht schwach in $l^{\infty}$. Dabei ist $l^{\infty}$ der Raum der beschränkten Folgen. Nochmal die Definition von schwach Konvergent: Eine Folge $(x_n)$ in einem normierten Raum heißt schwach Konvergent gegen $x$, wenn $\lim_{n \to \infty} x'(x_n)=x'(x)$ $\forall x' \in X'$ Dabei ist mit $X'$ der Dualraum gemeint. Hatte ein paar kleine Ideen die überall ins nichts geführt haben. Vielleicht kann mir jemand hier helfen ? Liebe Grüße\] Habe diese Frage bereits im anderen Forum gestellt. Komme leider nicht weiter.


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KaSt
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Dabei seit: 18.02.2022
Mitteilungen: 26
  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-28

Eigentlich müsste ich mir nur ein Funktional suchen für das die schwache Konvergenz nicht gilt. Finde aber kein passendes Funktional.


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Wally
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Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9652
Wohnort: Dortmund, Old Europe
  Beitrag No.2, eingetragen 2022-11-29

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Hallo KaSt, dazu muss man sicher etwas spezielles über \( l^\infty\) benutzen. Die Folge ist ja sicher schwach-*-konvergent, und Funktionale auf \( l^\infty\), die nicht in \( l^1\) liegen, sind schwer zu beschreiben. Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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KaSt
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-29

Hallo Buri, ich glaube für euch ist die Aufgabe ungleich schwerer zu lösen als für mich. In der letzten Hausübung hatten wir gezeigt, dass es ein Funktional von $l^{\infty}$ gibt mit folgenden Eigenschaften: \[s:l^{ \infty} (\mathbb{R}) \to \mathbb{R} \] 1. \[s(Tx)=s(x)\] für alle $ x \in l^{ \infty}$ wobei $T$ der linksshiftoperator ist, also $T(x)=(x_2,x_3, .....)$ wobei $x=(x_1.x_2.x_3...)$ 2. $x \in l^{ \infty}$ mit $x_n > 0$ für alle $n$, dann gilt $s(x) >0$. 3. $s(e)=1$ für $e=(1,1,1,.....)$ Damit kann man die Aussage denke ich leicht zeigen. Liebe Grüße K


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mathematikerlein
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Dabei seit: 23.06.2020
Mitteilungen: 120
  Beitrag No.4, eingetragen 2022-11-30

Hallo, mit den von dir genannten Eigenschaften $1.$ und $3.$ bekommen wir es doch hin, sofern ich nichts übersehen oder einen Denkfehler hab. Wähle dir mal ein beliebiges $k\in\mathbb{N}$ (groß genug damit $x^{k-2}$ unten noch Sinn macht) und betrachte $$s(x^k) = s(T(x^k)) = s(x^{k-1}) = s(T(x^{k-1})) = s (x^{k-2}) = ... = s(0) = 0$$ (den Index $n$ lassen wir aus Bequemlichkeit mal weg). Aufgrund der Linearität von $s$ gilt $s(0)=0$. Damit werden die $x^k$ vom Funktional $s$ alle auf den gleichen Wert $0$ abgebildet. Aber der vermeintliche schwache Grenzwert wird nach Eigenschaft $3.$ auf einen anderen Wert abgebildet, nämlich auf die $1$. Bekommst du es jetzt hin? Grüße


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KaSt
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-30

Ja ich weiß, habe ich doch geschrieben, aber man muss ja nicht alles ausführen. Sonst hätte ich die Folge doch gar nicht betrachtet. ich wollte nur nicht weg sein ohne zu schreiben, dass ich eine Lösung gefunden habe. Und vielleicht auch für spätere Leute die hier gucken.


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KaSt
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Dabei seit: 18.02.2022
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-30

Meine Antwort hört sich etwas grob an. Entschuldigung. Trotzdem danke, dass du es hier nochmal aufgeschrieben hast obwohl es mir klar, war weil es nur noch ein paar für mich einfache Schritte sind. Liebe Grüße K


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