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Strukturen und Algebra » Kategorientheorie » Ist der Abschluss eines Funktors wohldefiniert?
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Universität/Hochschule J Ist der Abschluss eines Funktors wohldefiniert?
Dune
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  Themenstart: 2022-12-01

Hi zusammen, meine Frage bezieht sich auf die funktorielle Sichtweise der algebraischen Geometrie, wie sie zum Beispiel hier von Martin vorgestellt wird. R-Schemata werden hierbei als (bestimmte) Funktoren von der Kategorie aller kommutativen R-Algebren in die Kategorie der Mengen verstanden (R sei ein beliebiger kommutativer Ring). Diese Funktoren seien der Kürze halber als "R-Funktoren" bezeichnet. Ich war immer ein großer Fan dieser Sichtweise und hielt es für eine gute Idee, möglichst große Teile der Grundlagen der Schematheorie aus dieser Sicht heraus aufzubauen (ohne überhaupt den Begriff "lokal geringter Raum" zu erwähnen). Je länger ich mich damit auseinander setzte, desto mehr beschlich mich aber das Gefühl, dass man sich die Eleganz dieser Theorie dadurch erkauft, dass man dafür ein sehr präzises Verständnis der verwendeten Mengenlehre mitbringen muss. Hier mal ein ganz einfaches Beispiel: Wie Martin in seinem Artikel vorgestellt hat, lässt sich für einen beliebigen R-Funktor der Begriff "abgeschlossener Unterfunktor" definieren (im Fall eines Schemas sind das gerade die abgeschlossenen Unterschemata). Für mich scheint dann folgende Definition sehr naheliegend: Definition 1: Sei F ein R-Funktor und U ein Unterfunktor von F. Dann ist der Abschluss \(\overline{U}\) von U definiert als der Schnitt aller abgeschlossener Unterfunktoren von F, die U enthalten. Auf den ersten Blick scheint nichts verkehrt mit dieser Definition und sie fügt sich auch sehr elegant in eine größere Theorie ein. Bei genauerem Hinschauen erkennt man aber, dass \( \overline{U}(A) = \bigcap_G G(A) \) ein Schnitt von Mengen ist, die durch eine Klasse von Funktoren $G$ indiziert sind, welche möglicherweise (abhängig von F) selbst gar keine Menge bilden. Ob das Ergebnis dieses Schnitts überhaupt eine Menge ist , hängt also möglicherweise von F, vielleicht aber auch von der zugrundeliegenden Mengenlehre ab. Ähnlich verhält es sich mit der Reduktion eines Schemas, die sich möglicherweise so verallgemeinern lässt: Definition 2: Sei F ein R-Funktor. Die Reduktion \(F_r\) von F ist der Schnitt aller abgeschlossener Unterfunktoren G von F, die \( G(K) = F(K) \) für alle Körper K erfüllen. Für Schemata stimmt diese Definition mit der üblichen überein. Für allgemeine Funktoren ist mir die Wohldefiniertheit leider nicht ganz klar.
Hat jemand vielleicht etwas Erfahrung mit diesen Problemen und kann mir sagen, inwieweit meine Bedenken berechtigt sind? Ist es wirklich so, dass die Wohldefiniertheit obiger und ähnlicher Definitionen wesentlich von der zugrundeliegenden Mengenlehre abhängig sind oder lassen sich diese mit einem allgemeinen Argument erschlagen? Kann man vielleicht die Kategorie aller R-Funktoren ein klein wenig einschränken, sodass man nicht mehr so leicht Gefahr läuft, die Kategorie der Mengen zu verlassen? Viele Grüße Dune



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KidinK
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-01

Hallo, solche „Probleme” haben nicht speziell etwas mit algebraischer Geometrie zu tun, sondern die hat man in der Kategorientheorie immer, wenn man über Funktorkategorien spricht. Wenn du irgendwann einmal über die Kategorie der R-Funktoren reden willst, hast du auch ein Problem. Die praktikabelste Lösung ist es, mit so vielen Universen zu arbeiten, wie nötig ist. In diesem Fall genügt es, ein Universum U zu wählen. Ersetzt man die Kategorie der R-Algebren bzw. Mengen durch die Kategorien der U-kleinen R-Algebren und U-kleinen Mengen, so hat man es überall nur noch mit Mengen zu tun. Im Fall der algebraischen Geometrie kann man sich überlegen, dass man dieselbe Kategorie der Schemata erhält, wenn man R-Alg durch die Kategorie der endlich präsentierten R-Algebren ersetzt, oder noch krasser, durch die Kategorie der R-Algebren, welche *gleich* einer R-Algebra der Form R[T_1,...,T_n]/ sind. Viele Grüße KidinK P.S.: Ich denke nicht, dass deine Definition 2 sich gut verhält.


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Triceratops
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-12-01

Ja genau, man sollte mit Grothendieck-Universen arbeiten. In diesem Sinne ist auch jede Kategorie klein, nur halt bezüglich eines größeren Universums. Ich habe das in den Auflagen 1 und 2 meines Buches (Einführung in die Kategorientheorie) auch nicht optimal gelöst, mit Klassen kann man tatsächlich nicht so gut arbeiten (deine Frage bestätigt dies). Das Problem von Klassen wird nicht erst bei so etwas kompliziertem wie hier sichtbar, sondern bereits der Bildung von Funktorkategorien und entsprechend der Formulierung von so etwas Elementarem wie dem Yoneda-Lemma. In Auflage 3 wird alles mit Grothendieck-Universen gemacht werden. Wenn du möchtest, kann ich dir die aktuelle (unfertige und nicht vollständig korrekturgelesene) Version des entsprechenden Abschnitts per E-Mail zuschicken. Du kannst aber auch einfach in das Buch von MacLane reinschauen für einen ähnlichen Ansatz. Die Vorbemerkungen in Demazure-Gabriel's Groupes Algebriques sind auch ganz gut. Was noch wichtig ist zu verstehen: niemand interessiert sich für allgemeine R-Funktoren. Man sollte wohl mindestens einmal mit kleinen R-Funktoren arbeiten, siehe auch MO/194244 hierzu. Theoriebildung braucht zwar diesen Flex mit Universen, aber konkrete, brauchbare Objekte verlassen das Universum eigentlich nie. Daher gilt auch der Satz von Fermat uneingeschränkt der Tatsache, dass in den ganzen dafür verwendeten Theorien Universen benutzt worden sind, siehe MO/35746.


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Triceratops
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-12-01

Was deine konkrete Frage angeht: Für einen Funktor $F : \mathbf{CAlg}_R \to \mathbf{Set}$ und eine Menge $M$ von Unterfunktoren von $F$ (hier müssen wir nicht einmal irgendwelche Annahmen über die Größe dieser Menge machen!) kann man immer den Durchschnitt $\bigcap M$ bilden. Er ist konkret definiert durch $(\bigcap M)(A) = \bigcap \{G(A) : G \in M\}$, der Durchschnitt wird in $F(A)$ vorgenommen. Natürlich muss man hier wissen, dass $M$ tatsächlich eine Menge ist, wofür wir die Menge aller Funktoren bilden müssen. Dazu fixieren wir drei Universen $\mathcal{U} \in \mathcal{U}^+ \in \mathcal{U}^{++}$ und vereinbaren, dass $\mathbf{Set}$, $\mathbf{CAlg}_R$ usw. die Kategorien der $\mathcal{U}$-kleinen Mengen bzw. kommutativen $R$-Algebren bezeichnen, und mit "Kategorie" meinen wir standardmäßig eine $\mathcal{U}^+$-kleine Kategorie, deren Hom-Mengen $\mathcal{U}$-klein sind. Die Funktorkategorie $[\mathbf{CAlg}_R,\mathbf{Set}]$ ist dann eine $\mathcal{U}^{++}$-kleine Kategorie, deren Hom-Mengen $\mathcal{U}^+$-klein sind. Wie gesagt ist die Unterkategorie der kleinen Funktoren überschaubarer, sie ist ebenfalls $\mathcal{U}^+$-klein (bis auf Äquivalenz).


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Triceratops
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-12-01

Was man auch noch einmal sich überlegen sollte, ist ob es nicht eine "hands down description" des Abschlusses innerhalb eines R-Funktors gibt. Analog dazu, dass man zwar den Abschluss einer Teilmenge eines topologischen Raumes auch abstrakt über einen Durchschnitt definieren kann, aber dann auch konkret einfach dadurch, dass eben jene Punkte zum Abschluss gehören, deren sämtliche offene Umgebungen die Teilmenge schneiden. Es gibt auch die Charakterisierung über die Netzkonvergenz, wobei man hier allerdings auch über alle gerichteten Mengen quantifizieren muss. Vielleicht gibt es so etwas auch hier. [Ich habe einige Ideen, aber gerade keine Zeit sie auszuarbeiten und eventuell fällt es dir auch ein.] Ob damit dann die mengentheoretischen Feinheiten umschifft werden, kann ich nicht sagen, aber zumindest macht es die Konstruktion greifbarer.


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Dune
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-02

Hi ihr beiden, vielen Dank für eure Antworten! Ich bin noch nicht dazu gekommen mir alle Literaturemfehlungen anzuschauen, aber ich möchte trotzdem schon einmal auf ein paar ausgewählte Punkte eingehen. Grundsätzlich war mir das Konzept von Grothendieck-Universen schon bekannt, aber ich dachte, dass es hierbei nur das Problem verschieben würde: Anstatt zu überlegen ob eine Klasse eine Menge ist, müsste ich überlegen, ob eine \( \mathcal{U}^{+} \)-kleine Menge \( \mathcal{U} \)-klein ist. Ihr habt aber sicherlich Recht, dass Universen hier super sinnvoll sind, da man sich zumindest um die Existenz von Mengen keine Gedanken mehr machen muss. \quoteon(2022-12-01 20:41 - KidinK in Beitrag No. 1) P.S.: Ich denke nicht, dass deine Definition 2 sich gut verhält. \quoteoff Ich glaube auch nicht, dass diese Definition für allgemeine Funktoren (außer Schemata) irgendwelche schönen Eigenschaften hat. Dafür liefert sie aber einen extrem einfachen Existenzbeweis reduzierter Schemata (wenn wir mal von der Wohldefiniertheit absehen). Außerdem ist sie aus meiner Sicht auch leicht zu motivieren: Offene Unterfunktoren zeichnen sich dadurch aus, dass man Gleichheit (oder auch Inklusion) nur auf Körpern testen muss. Für abgeschlossene Unterfunktoren gilt das im Allgemeinen nicht. Reduzierte abgeschlossene Unterfunktoren sind also gerade jene, die sich in dieser Hinsicht wie offene Unterfunktoren verhalten. \quoteon(2022-12-01 23:06 - Triceratops in Beitrag No. 3) Natürlich muss man hier wissen, dass $M$ tatsächlich eine Menge ist, wofür wir die Menge aller Funktoren bilden müssen. \quoteoff Genau das ist mir noch nicht ganz klar. Ist die Menge der abgeschlossenen Unterfunktoren von F im Allgemeinen \( \mathcal{U} \)-klein? Ich hatte mir einmal überlegt, dass die abgeschlossenen Unterfunktoren von F bijektiv zu den Morphismen \( F \to I \) korrespondieren, wobei I der R-Funktor ist, welcher jeder R-Algebra die Menge ihrer Ideale zuordnet. Im Allgemeinen ist aber Hom(F,I) nur \( \mathcal{U}^{+} \)-klein und es ist auf den ersten Blick nicht klar, ob sie auch \( \mathcal{U} \)-klein ist. Andererseits sollte das Argument aber auf jeden Fall dann funktionieren wenn wir nur kleine Funktoren betrachten (ich hab die Definition bis jetzt noch nicht verstanden, aber das schaue ich mir demnächst noch genauer an) und I zufälligerweise auch ein kleiner Funktor ist. Geht ihr soweit mit? \quoteon(2022-12-01 22:49 - Triceratops in Beitrag No. 2) In Auflage 3 wird alles mit Grothendieck-Universen gemacht werden. Wenn du möchtest, kann ich dir die aktuelle (unfertige und nicht vollständig korrekturgelesene) Version des entsprechenden Abschnitts per E-Mail zuschicken. \quoteoff Das würde ich natürlich total gerne wenn ich darf! :) Viele Grüße Dune


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KidinK
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-12-02

Hallo, du musst gar nicht wissen, ob die Menge der (abgeschlossenen) Unterfunktoren klein ist. In jedem Fall ist $(\bigcap M)(A)$, so wie weiter oben von Triceratops definiert, eine Teilmenge der $U$-kleinen Menge $F(A)$ und damit selbst $U$-klein. Viele Grüße KidinK


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Dune
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-02

Oh. Du meinst wenn $B \in \mathcal{U}$ irgendeine Menge und $A \subseteq B$ eine Teilmenge von $B$ bezüglich $\mathcal{U}^{+}$ ist, dann ist $A$ automatisch auch in $\mathcal{U}$? Das folgt wahrscheinlich trivialerweise aus den Axiomen von Grothendieck-Universen, aber anscheinend war mir dieser Punkt bisher noch überhaupt nicht klar. In dem Fall verstehe ich natürlich auch warum Universen für diese Theorie so unfassbar nützlich sind! //edit: Ich merke gerade, dass schon der Ausdruck "Teilmenge bezüglich $\mathcal{U}^{+}$" gar keinen richtigen Sinn ergibt. Ich hatte hier anscheinend doch noch eine größere Verständnislücke.


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KidinK
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-12-02

Ja, Teilmenge bzgl. eines Universum ergibt keinen Sinn. Wir benutzen normale ZFC-Mengenlehre und fügen dann noch Axiom(e) hinzu, welche die Existenz eines oder mehrerer Universen garantieren. "Teilmenge" bedeutet trotzdem nach wie vor $\forall x.x \in A \implies x \in B$, wobei über alle Mengen $x$ quantifiziert wird. Wenn $U$ ein Universum ist, $B \in U$ und $A \subset B$, dann ist auch $A \in U$. Mit den Axiomen von Wikipedia folgt das aus 1 und 3. Viele Grüße KidinK


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Triceratops
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-12-03

@Dune: Du fragst an mehreren Stellen, ob etwas $\mathcal{U}$-klein ist und scheinst das wichtig zu finden. Nein, hier treten auch Mengen auf, die nicht $\mathcal{U}$-klein sind. Das ist aber nicht weiter wichtig. Wir arbeiten gerade mit mehreren Universen, damit wir weiterhin über "die Menge aller [in dem aktuell betrachteten Universum] aller Mengen/Gruppen/etc." sprechen können. Ich empfehle dir mal in die Literatur zu schauen. Die Funktoren $\mathbf{CAlg}_R \to \mathbf{Set}$ bilden eine Menge, weil wir hier mit ZFC + Universen arbeiten und dort nach wie vor alles eine Menge ist. Wie gesagt ist die Menge dieser Funktoren in $\mathcal{U}^{++}$ enthalten, bzw. bereits in $P(\mathcal{U}^+)$.


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Triceratops
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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-12-03

\quoteon(2022-12-02 17:02 - KidinK in Beitrag No. 6) du musst gar nicht wissen, ob die Menge der (abgeschlossenen) Unterfunktoren klein ist. In jedem Fall ist $(\bigcap M)(A)$, so wie weiter oben von Triceratops definiert, eine Teilmenge der $U$-kleinen Menge $F(A)$ und damit selbst $U$-klein. \quoteoff Man muss aber wissen, dass die Menge aller (beteiligten) Unterfunktoren eben eine Menge ist. Sonst lässt sich die Definition des Schnitts nicht sinnvoll hinschreiben. Deswegen die Hinweise in Beitrag No. 3.


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\quoteon(2022-12-03 22:13 - Triceratops in Beitrag No. 10) \quoteon(2022-12-02 17:02 - KidinK in Beitrag No. 6) du musst gar nicht wissen, ob die Menge der (abgeschlossenen) Unterfunktoren klein ist. In jedem Fall ist $(\bigcap M)(A)$, so wie weiter oben von Triceratops definiert, eine Teilmenge der $U$-kleinen Menge $F(A)$ und damit selbst $U$-klein. \quoteoff Man muss aber wissen, dass die Menge aller (beteiligten) Unterfunktoren eben eine Menge ist. Sonst lässt sich die Definition des Schnitts nicht sinnvoll hinschreiben. Deswegen die Hinweise in Beitrag No. 3. \quoteoff Hallo, es genügt, dass ein Unterfunktor $G$ eine Menge ist (das zu tippen, ist natürlich etwas schmerzhaft für mich, aber ich meine es wirklich so, im Sinne der materiellen Mengenlehre). Dann kann man den Durchschnitt definieren durch $$\overline{U}(A) := \{x \in F(A) \mid \forall G.(G\text{ Unterfunktor von }F \wedge U \subset G \implies x \in G(A))\}.$$ Man braucht dann noch, dass $\overline{U}(A)$ wirklich klein ist, damit $\overline{U}$ tatsächlich einen Funktor in die Kategorie der kleinen Mengen definiert. Viele Grüße KidinK


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Hi Martin! \quoteon(2022-12-03 20:31 - Triceratops in Beitrag No. 9) @Dune: Du fragst an mehreren Stellen, ob etwas $\mathcal{U}$-klein ist und scheinst das wichtig zu finden. Nein, hier treten auch Mengen auf, die nicht $\mathcal{U}$-klein sind. Das ist aber nicht weiter wichtig. \quoteoff Ja, das hab ich inzwischen verstanden. Mein Irrtum rührte daher, dass ich mir Universen zu sehr wie voneinander losgelöste ZFC-Modelle vorgestellt hatte, bei denen dieses Teilmengenproblem ja tatsächlich real ist. (Man kann zum Beispiel jedes ZFC-Modell gezielt so zu einem größeren Modell erweitern, sodass dabei neue Teilmengen von \( \mathbb{N} \) entstehen. Das kann aber natürlich bei Universen nicht passieren, da sie (obwohl man sie einzeln als ZFC-Modell betrachten kann) sich alle in einem gemeinsamen ZFC-Modell befinden.) Diese Diskussion hat mir auf jeden Fall deutlich gemacht, wie mächtig die Universums-Axiome sind. Dass man eine \( \mathcal{U} \)-Menge konstruieren kann, indem man über \( \mathcal{U}^{+} \)-Mengen quantisiert, ist wirklich bemerkenswert!


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Triceratops
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  Beitrag No.13, eingetragen 2022-12-04

\quoteon(2022-12-04 13:09 - Dune in Beitrag No. 12) Dass man eine \( \mathcal{U} \)-Menge konstruieren kann, indem man über \( \mathcal{U}^{+} \)-Mengen quantisiert, ist wirklich bemerkenswert! \quoteoff Ja, aber das ist eigentlich nur eine "Verschiebung" des bekannten Vorgehens, endliche Mengen bzw. natürliche Zahlen zu definieren, indem man über unendliche Mengen quantisiert. Man kann das auch formal verbinden: Wenn man $\IN \in \mathcal{U}$ in der Definition eines Grothendieck-Universums weglässt (einige Autoren tun das), ist das kleinste Grothendieck-Universen die Menge aller erblich-endlichen Mengen $\mathcal{U}_{\text{fin}}$. Das sind Mengen, die nur aus endlichen Mengen bestehen, die wiederum nur aus endlichen Mengen bestehen, usw. Ein typisches Beispiel ist $\Bigl\{\{\},\bigl\{\{\},\{\}\bigr\}\Bigr\}$. Es gilt $\IN \subseteq \mathcal{U}_{\text{fin}}$. Es ist nun übliche Praxis, konkrete natürliche Zahlen mithilfe von Mengen zu definieren, die nicht in $\mathcal{U}_{\text{fin}}$ enthalten sind, also in einem größeren Universum $\mathcal{U}$. Zufälliges Beispiel: die Betti-Zahlen einer Mannigfaltigkeit.


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Dune
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Alles klar, meine ursprünglichen Bedenken haben sich damit tatsächlich in Luft aufgelöst. Danke euch! :)


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