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Differentialgleichungen » Partielle DGL » Dirichlet-Problem
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Universität/Hochschule J Dirichlet-Problem
NffN1
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  Themenstart: 2022-12-02

Guten Tag, folgende Aufgabe:hier muss ich lösen. Der Maximumwert ist doch einfach $u(1,0,0,...)= 1$ oder? Wie findet man nun $u(0)$ ohne u zu berechnen? MfG, Noah


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semasch
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-03

Moin Noah, die benötigten Resultate finden sich etwa in Abs. 4.3 hier. \quoteon(2022-12-02 14:01 - NffN1 im Themenstart) Der Maximumwert ist doch einfach $u(1,0,0,...)= 1$ oder? \quoteoff Korrekt, begründe das anhand des Maximumsprinzips. \quoteon(2022-12-02 14:01 - NffN1 im Themenstart) Wie findet man nun $u(0)$ ohne u zu berechnen? \quoteoff Verwende die Mittelwerteigenschaft. LG, semasch


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NffN1
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-03

Nach dem Mittelwertsatz habe ich dann $u(0)=\frac{1}{\omega_n}\int_{\partial B_1(0)}u(y)dy$. Kann ich das schreiben als $\frac{1}{\omega_n}\int_{\partial B_1(0)}y*e_1dy=\frac{1}{\omega_n}[\frac{1}{2} y^2*e_1]_{\partial B_1(0)}$? Ich weiss nicht ganz wie ich das mit dem Randintegral machen soll. Wie mache ich nun weiter?


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semasch
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-12-04

\quoteon(2022-12-03 14:00 - NffN1 in Beitrag No. 2) Nach dem Mittelwertsatz habe ich dann $u(0)=\frac{1}{\omega_n}\int_{\partial B_1(0)}u(y)dy$. \quoteoff Ja, genau. Das hier \quoteon(2022-12-03 14:00 - NffN1 in Beitrag No. 2) Kann ich das schreiben als $\frac{1}{\omega_n}\int_{\partial B_1(0)}y*e_1dy=\frac{1}{\omega_n}[\frac{1}{2} y^2*e_1]_{\partial B_1(0)}$? \quoteoff macht allerdings keinen Sinn. Man kann \[ u(0) = \frac{1}{S_n} \int_{\partial B_1(0)} y \cdot e_1 \, ds(y) \tag{1} \] auf verschiedene Weisen, wie Oberflächenintegrale i.A., angehen. Die brute-force-Strategie ist natürlich, eine (abzählbare) Familie von Einbettungen herzunehmen, deren Bilder eine Überdeckung der Mannigfaltigkeit bilden und, basierend auf einer dazu passenden messbaren Zerlegung der Mannigfaltigkeit, damit das Integral bzgl. des Oberflächenmaßes auszurechnen; siehe etwa Abs. 15.6 hier, insbesondere Formel (15.23), oder eben die entsprechende Stelle in deinem Analysis-Skript bzw. -Buch, in dem das sicher auch drinnen steht. Oft geht es aber (viel) einfacher, und so auch hier, etwa mithilfe des Satzes von Gauss, siehe Satz 1.5 hier. Mit der dortigen Terminologie kannst du wegen $v(y) = y$ für alle $y \in \partial \Omega = \partial B_1(0)$ für $F(y) := e_1$ für alle $y \in \Omega := B_1(0)$ das Integral in $(1)$ offenbar zu \[ \int_{\partial \Omega} F(y) \cdot v(y) \, ds(y) \] umschreiben, was du dann mit dem Satz von Gauss leicht auswerten kannst (was ist die Divergenz von $F$?). Alternativ könnte man auch mit einem Symmetrieargument ähnlich schnell (wenn nicht noch schneller) zur gleichen Lösung kommen. LG, semasch


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