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Strukturen und Algebra » Darstellungstheorie » Charakter von Gruppendarstellungen
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Universität/Hochschule J Charakter von Gruppendarstellungen
Arccos
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  Themenstart: 2022-12-02

Sei \( f:G \rightarrow Sym(n) \) ein Homomorphismus einer beliebigen Gruppe G in eine symmetrische Gruppe. Die Abbildung f beschreibt eine Permutationsdarstellung \(\rho_f:G \rightarrow GL_n(\mathbb C)\) durch Permutationsmatrizen. Zu bestimmen ist der Charakter von \(rho_f\) unter f. Es gilt \(\chi_{\rho_f}(g) = tr(\rho_f(g))\) Aber ich verstehe einfach nicht, wie ich den Charakter bestimme. Ich habe ja in jeder Zeile und Spalte genau eine 1 ansonsten Nuller bei einer Permutationsmatrix. Also muss ich alle Einsen zusammenzählen die auf der Diagonalen liegen, doch wie genau schreibe ich so etwas. Das ganze verwirrt mich sehr und weder im Skript noch im Internet finde ich etwas, dass mir da weiter hilft. Ich hoffe hier kann mir jemand mit dem Thema weiterhelfen.


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hippias
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-03

Was bedeutet eine $1$ auf der Hauptdiagonalen f\"ur die korrespondierende Permutation?


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Arccos
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Mitteilungen: 57
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-03

Eine 1 auf der Diagonalen bedeutet ja, dass ein Element auf sich selbst geschickt wird. Ich glaube ich habe ein Ahnung worauf du hinaus willst. Da f ein Homomorphismus ist wird nur das neutrale Element von G auf das neutrale Element der Symmetriegruppe abgebildet. Also dafür ist der Charakter n. Somit müsste ja für jedes Element der Charakter die Ordnung des Zentralisators sein. Aber so ganz kann das noch nicht stimmen, ich vermute es muss noch in Verbindung mit den Konjugationsklassen gebracht werden. Werde darüber noch etwas länger nachdenken müssen und ausprobieren. Danke dir schonmal sehr für deine Antwort. Eventuell könntest du mir zu meinen Gedanken ein kurzes Feedback geben, ob ich auf der richtigen Spur bin.


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