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Universität/Hochschule Konstruktion mit Kovarianz
lattemacchiato
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  Themenstart: 2022-12-02

Hallo😃 ich habe eine kurze Frage zu diesem Beweis, bzw. verstehe nicht, wieso dieser vollständig ist. Es geht um Folgendes: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55942_IMG_2532.jpg Ich verstehe die Konstruktion von $V$ leider nicht so ganz, bzw. was die Konstruktion "bringt". Außerdem verstehe ich ehrlich gesagt noch nicht ganz, wieso man schließen kann, dass $(BA)Z=B\Sigma B^T$? Fehlt dazu nicht noch etwas? Ich wäre wirklich dankbar für jeden Hinweis zum Beweis. Viele Grüße LatteMacchiato


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semasch
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-03

Moin lattemacchiato, was dir das Theorem bringt, ist Aufschluss darüber, wie sich die Verteilung eines multivariat normalverteilten Zufallsvektors unter einer linearen (eigentlich affinen) Transformation ändert; konkret, dass sie (i) wieder eine multivariate Normalverteilung ist und (ii) wie der neue Mittelwertvektor und die neue Kovarianzmatrix aussehen. Um auf deine Probleme mit dem Beweis einzugehen, wäre es am günstigsten, wenn du das darin zitierte Theorem 1 im O-Ton angeben würdest, so dass man darauf eingehen und damit für dich am nachvollziehbarsten argumentieren kann. LG, semasch


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lattemacchiato
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-03

Hallo semasch😄 vielen Dank für deine Antwort und tut mir leid, dass ich gestern nicht mehr geschrieben habe. Deine Erklärung mit der linearen Transformation verstehe ich. Allerdings och nicht so ganz, wie man dann die einzelnen Summanden genau $\mu$ und $\Sigma$ zuordnen kann. Das ist Theorem 1: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55942_Bildschirmfoto_2022-12-03_um_07.34.59.png Könntest du mir dazu vielleicht nochmal weiterhelfen?


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semasch
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-12-03

Alles klar, ja dann von meiner Seite aus nochmal die Nachfrage, wie ihr den Begriff eines normalverteilten Zufallsvektors (bzw. genauer, was $\mathbf{X} \sim \mathcal{N}_k(\mathbf{\mu}, \mathbf{\Sigma})$ bedeuten soll) definiert habt? Am besten kopierst du das auch noch im O-Ton rein, das erspart mir (und dir) ggf. einiges an Schreibarbeit. LG, semasch PS: Kein Problem vonwegen des gestrigen/heutigen Nicht-Antwortens, ich habe hier schon teilweise (ausführlichste) Antworten abgegeben, worauf nach mehr als 1.5 Jahren noch nicht repliziert wurde, also kein Stress dbzgl.


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lattemacchiato
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-03

Hallo, vielen Dank, dass du nochmal geantwortet hast. Ich habe nun versucht, die relevanten Definitionen des Papiers bzw. unseres Skripts, noch mal ab zu tippen. Ich hoffe das meintest du mit O-Ton. Falls du trotzdem noch etwas bräuchtest, was dir schreibarbeit sparen würde, kannst du aber natürlich Bescheid sagen und ich würde es auch noch mal ab tippen. Ich muss dazu allerdings sagen, dass dieser Beweis nicht aus unserem Skript ist und das Paper, wo drin der Beweis steht nur sehr kurz ist. Im Paper (https://www2.stat.duke.edu/courses/Spring12/sta215/mvnormal.pdf) ist $\mathbf{X} \sim \mathcal{N}_k(\mathbf{\mu}, \mathbf{\Sigma})$ leider nicht nochmal definiert worden. Wir haben es allerdings so definiert: $$ \mathcal{N}_k(\mathbf{\mu}, \mathbf{\Sigma})=\mathcal{N}_k(0, I_k)(L^{-1}(B))\quad \text{mit} \;B \in \mathbb{B},$$ wobei $L(x)=Ax+\mu$. Bei uns wird$ \mathcal{N}_k(\mathbf{\mu}, \mathbf{\Sigma})$ als das Bildmaß von $\mathcal{N}_k(0, I_d)$ unter $L(x)=Ax+\mu$ bezeichnet. Reicht das schon?


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semasch
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-12-03

Alles klar, ja, die im gegebenen Fall hilfreichste Definition, die von beiden dir vorliegenden abweicht, aber zu beiden äquivalent ist, wie man sich überlegen kann, findet sich etwa hier. Ich beziehe mich i.F. auf diese als $(*)$. Nun haperts erstmal an einem (Tipp)fehler in der Formulierung von Theorem 2, dort sollte es natürlich $\mathbf{B} \in \mathbb{R}^{p \times k}$ heißen. Ist also $\mathbf{U} \sim \mathcal{N}_k(\mathbf{\mu},\mathbf{\Sigma})$, so existieren gemäß $(*)$ Objekte $\mu \in \mathbb{R}^k, \mathbf{A} \in \mathbb{R}^{k \times l}$ und $\mathbf{Z} \sim \mathcal{N}_l(\mathbf{0},\mathbf{I}_l)$ mit $\mathbf{U} = \mathbf{\mu} + \mathbf{A} \mathbf{Z}$ mit $\mathbf{A}\mathbf{A}^T = \mathbf{\Sigma}$. Für \[ \mathbf{V} = \mathbf{a} + \mathbf{B} \mathbf{U} = \mathbf{a} + \mathbf{B} (\mathbf{\mu} + \mathbf{A} \mathbf{Z}) = \mathbf{a} + \mathbf{B} \mathbf{\mu} + \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{Z} = \mathbf{\mu}' + \mathbf{A}' \mathbf{Z} \] mit $\mathbf{\mu}' = \mathbf{a} + \mathbf{B} \mathbf{\mu}$ und $\mathbf{A}' = \mathbf{B} \mathbf{A}$ gilt also nach $(*)$ weiter $\mathbf{V} \sim \mathcal{N}_p(\mathbf{\mu}',\mathbf{\Sigma}')$ mit $\mathbf{\mu}' = \mathbf{a} + \mathbf{B} \mathbf{\mu}$ und $\mathbf{\Sigma}' = \mathbf{A}' \mathbf{A}'^T = \mathbf{B} \mathbf{A} (\mathbf{B} \mathbf{A})^T$. Mithilfe der Rechenregel für die Transponierte des Produkts zweier Matrizen erhältst du die Behauptung. LG, semasch


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lattemacchiato
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-03

Hallo semasch, vielen Dank für deine Hilfe. Ich hatte wirklich erst gedacht, dass das ein langwieriger Prozess wird, bis ich das verstanden habe, aber du hast es super erklärt😄 Dank auch, für den Hinweis mit dem Tippfehler


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semasch
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-12-03

Kein Problem, freut mich, dass es verständlich war. LG, semasch


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