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Mathematik » Strukturen und Algebra » Beweis, dass die Umkehrfunktion keine elementare Funktion ist?
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Universität/Hochschule J Beweis, dass die Umkehrfunktion keine elementare Funktion ist?
IVmath
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Mitteilungen: 705
  Themenstart: 2022-12-03

Hallo, ist denn mein Beweis unten korrekt? Ich kann die Aussage meiner Vermutung noch nicht glauben. Vermutung: Seien $f,h$ bijektive elementare Funktionen, deren Umkehrfunktionen elementare Funktionen sind, $g$ eine bijektive elementare Funktion. Wenn die Umkehrfunktion von $g$ keine elementare Funktion ist, dann ist die Umkehrfunktion der Funktion $F$ mit $F(x)=f(g(h(x)))$ keine elementare Funktion. Die elementaren Funktionen (nach Liouville und Ritt) werden erzeugt durch Anwendung endlicher Anzahlen von $\exp$, $\ln$ und/oder algebraischen Funktionen einer oder mehrerer komplexer Variablen mit komplexen Koeffizienten. Die Elementaren Funktionen sind abgeschlossen bezüglich Komposition. Die Komposition von elementaren Funktionen ist also ebenfalls wieder eine elementare Funktion. Beweis: $^{-1}$: Umkehrfunktion Es ist $F^{-1}(x)=h^{-1}(g^{-1}(f^{-1}(x)))$. Wir führen einen Widerspruchsbeweis. Angenommen, es gäbe eine elementare Funktion $E$ sodass $F^{-1}=E$: $$F^{-1}(x)=E(x).$$ $$h^{-1}(g^{-1}(f^{-1}(x)))=E(x)$$ $$g^{-1}(f^{-1}(x))=h(E(x))$$ $$g^{-1}(f^{-1}(f(x)))=h(E(f(x)))$$ $$g^{-1}(x)=h(E(f(x)))\tag{1}$$ Die rechte Seite von (1) ist Komposition elementarer Funktionen, also eine elementare Funktion. Die linke Seite dagegen ist eine nichtelementare Funktion. Die Annahme war also falsch. q.e.d. Vielen vielen Dank.


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DavidM
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-03

Hallo IVMath, ja, Vermutung und Beweis sind korrekt (wobei ich die Vermutung nicht besonders überraschend finde). Gruß, David


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IVmath
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 29.07.2016
Mitteilungen: 705
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-03

\quoteon(2022-12-03 20:50 - DavidM in Beitrag No. 1) wobei ich die Vermutung nicht besonders überraschend finde \quoteoff Ja, zu dem Schluss war ich dann inzwischen auch gekommen. Der Beweis sagt ja, dass die gewählte Darstellung der Umkehrfunktion von $F$ $h^{-1}(g^{-1}(f^{-1}(x)))$ keine elementare Funktion ist. Und aus der Gleichheit von Funktionen ergibt sich damit dann, dass auch keine andere Darstellung der Umkehrfunktion von $F$ eine elementare Funktion sein kann. Prima. Vielen vielen Dank.


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