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Mathematik » Geometrie » Verknüpfung von zwei Drehungen
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Universität/Hochschule Verknüpfung von zwei Drehungen
Boomerhead
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  Themenstart: 2022-12-03

Hey Leute, ich habe eine kurze Frage zu folgender Aufgabenstellung: Seien \(f_1,f_2 :\IR³\rightarrow\IR³\) Drehungen um die Ursprungsgeraden mit Drehachsen \(U_1, U_2\). Zeigen Sie, dass auch \(f_1\circ f_2\) eine Drehung um die Ursprungsgerade ist. Hinweis: Betrachte die Determinanten der beteiligten Abbildungen. Ich habe daher erstmal \(f_1\) als Drehung um den Winkel \(\alpha\) und \(f_2\) als Drehung um den Winkel \(\beta\) betrachtet. Verknüpft man beide Abbildungen, so erhalte ich: \(f_1\circ f_2=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\alpha +\beta) & -sin(\alpha +\beta) \\ 0 & sin(\alpha +\beta) & cos(\alpha+\beta) \\ \end{array} \right)\) Also erhalte ich eine Drehung um den Winkel \(\alpha+\beta\). Aber genügt das denn als Beweis? Wie sieht denn dann die Ursprungsgerade aus, um die die Rotation erfolgt? Würde mich über Hinweise freuen :-)


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-03

Hallo, du hast offensichtlich zweimal um die x-Achse gedreht, dann ist das Resultat nicht weiter erstaunlich: die resultierende Matrix beschreibt dabei wieder eine Drehung um die x-Achse. Außerdem verstehe ich die Aufgabe hier so, dass die konkrete Matrix einer solchen Verkettung überhaupt nicht ausgerechnet werden soll. In dem Zusammenhang: was muss denn für die Determinante einer Drehmatrix gelten? Das reicht aber nach meiner Kenntnis noch nicht aus, um wirklich auf eine Drehmatrix schließen zu können. Welche Eigenschaften von Drehmatrizen sind dir in diesem Zusammenhag noch bekannt? Gruß, Diophant


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Boomerhead
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-03

Dankeschön für die Antwort. Mir kam die Lösung auch zu einfach vor ^^ Der Eigenwert der Drehmatrix muss 1 ergeben. Da ich hier zwei Matrizen verknüpfe, erhalte ich als Determinante der Verknüpfung ebenfalls 1. Meine Idee wäre noch zu zeigen, dass in der verknüpften Abbildung die Blockmatrix \(B=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right)\) aus der allgemeinen Darstellungsmatrix orthogonaler Abbildungen \(M(f)=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & a & b \\ 0 & c & d \\ \end{array} \right)\) eine Drehung im \(\IR²\) ist. Aber ist das nicht irgendwie klar ? ^^


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-12-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-12-03 18:01 - Boomerhead in Beitrag No. 2) Der Eigenwert der Drehmatrix muss 1 ergeben. Da ich hier zwei Matrizen verknüpfe, erhalte ich als Determinante der Verknüpfung ebenfalls 1. \quoteoff Ja, das muss auf jeden Fall so sein (und es muss oben "Determinante" heißen, nicht "Eigenwert". Obwohl auch der reelle Eigenwert hier gleich 1 sein muss. Warum?) \quoteon(2022-12-03 18:01 - Boomerhead in Beitrag No. 2) Meine Idee wäre noch zu zeigen, dass in der verknüpften Abbildung die Blockmatrix \(B=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right)\) aus der allgemeinen Darstellungsmatrix orthogonaler Abbildungen \(M(f)=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & a & b \\ 0 & c & d \\ \end{array} \right)\) eine Drehung im \(\IR²\) ist. Aber ist das nicht irgendwie klar ? ^^ \quoteoff Wie gesagt: du betrachtest bisher nur Spezialfälle. Du musst das ja für zwei Drehungen mit beliebigen Drehachsen im \(\IR^3\) zeigen (einzige Einschränkung: sie müssen durch den Ursprung verlaufen), nicht nur für die Koordinatenachsen oder gar für zwei Drehungen um die gleiche Achse. Dazu könnte man zur Not (ohne Beschränkung der Allgemeinheit, wie man so schön sagt) mit einer Koordinatenachse beginnen. Die zweite Achse muss dann aber beliebig sein, damit das ganze insbesondere für jeden möglichen Winkel zwischen den Drehachsen gezeigt ist. Was hast du denn so an Stoff zur Verfügung? Ich werfe mal noch den Begriff "Orthogonale Matrix" in den Raum, sagt der dir etwas? Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Boomerhead
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-03

Okay, das irritiert mich, da wir im Skript die oben dargestellte Matrix als Drehung um die Ursprungsgerade \(W=span\{w_1\}\), wobei \(w_1\in E_{\lambda}(f)\) mit \(\lVert w_1 \rVert=1\), also Orthonormalbasis zu \(W=span\{w_1\}\) ist. Daher dachte ich, dass die Definition der Drehmatrix allgemein für beliebige Ursprungsgeraden gilt. Und ja, orthogonale Matrizen sind mir bekannt :)


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-12-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-12-03 19:32 - Boomerhead in Beitrag No. 4) Okay, das irritiert mich, da wir im Skript die oben dargestellte Matrix als Drehung um die Ursprungsgerade \(W=span\{w_1\}\), wobei \(w_1\in E_{\lambda}(f)\) mit \(\lVert w_1 \rVert=1\), also Orthonormalbasis zu \(W=span\{w_1\}\) ist. Daher dachte ich, dass die Definition der Drehmatrix allgemein für beliebige Ursprungsgeraden gilt. \quoteoff Nein, deine Drehung aus dem Themenstart ist eine Drehung um die \(w_1\)-Achse deines durch die Orthonormalbasis gegebenen Koordinatensystems. Im kanonischen System also etwa um die x-Achse. Für eine Drehung kannst du natürlich immer eine Basis so wählen, dass \(w_1\) in Richtung deiner Drehachse zeigt. Das ist hier aber ein Gedankenspiel, was nicht sehr viel bringt: du musst ja zwei Drehungen um verschiedene Achsen miteinander verketten. \quoteon(2022-12-03 19:32 - Boomerhead in Beitrag No. 4) Und ja, orthogonale Matrizen sind mir bekannt :) \quoteoff Ok. Alle orthogonalen Matrizen mit Determinante +1 sind Drehungen. Es wird darauf hinauslaufen zu zeigen, dass das Produkt zweier beliebiger Drehmatrizen diese Eigenschaften besitzt. Der einfachste Weg wäre hier wohl, die Gruppentheorie zu bemühen... Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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