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Gewöhnliche DGL » DGLen 1. Ordnung » Eindimensionale Fallgleichung mit Reibung
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Universität/Hochschule J Eindimensionale Fallgleichung mit Reibung
kaiserchen
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 04.12.2022
Mitteilungen: 2
Wohnort: Berlin
  Themenstart: 2022-12-04

Hi, ich habe auf meinem Übungszettel diese Woche eine Folgende DGL: \(\begin{align} \dot{v}(t)=g-av|v| \end{align}\) Mein Lösungsansatz ist: \(\begin{align} \dot{v}(t)=g-av^2, v\geq 0 \end{align}\) Lösung: \(\begin{align} v(t)=\sqrt{\frac{g}{a}}\tanh{(\sqrt{ga}t+arctanh(\sqrt{\frac{a}{g}}v_0})) \end{align}\) Und: \(\begin{align} \dot{v}(t)=g+av^2, v<0 \end{align}\) Lösung: \(\begin{align} v(t)=\sqrt{\frac{g}{a}}\tan{(\sqrt{ga}t+arctan{\sqrt{\frac{a}{g}}v_0})} \end{align}\) Das könnte man sehr schön als kombinierte Funktion schreiben. Allerdings haben die beiden Funktionen v(t) keine gemeinsame Nullstelle die man bräuchte um die kombinierte Funktion aufschreiben zu können. Vielleicht habe ich einfach einen Denkfehler? Vielen Dank schonmal! LG

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sonnenschein96
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 705
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-04

Hallo kaiserchen, Du hast wohl mit der Anfangsbedingung \(v(0)=v_0\) gearbeitet und es gilt \(a,g>0\). Ich denke, Du musst eine Fallunterscheidung bezüglich \(v_0\) machen: Für \(0\leq v_0<\sqrt{\frac{g}{a}}\) ist Deine Formel \((3)\) für alle \(t\geq0\) die richtige Lösung. Die Fälle \(v_0=\sqrt{\frac{g}{a}}\) und \(v_0>\sqrt{\frac{g}{a}}\) musst Du Dir noch einmal genauer anschauen, der Term \(\operatorname{artanh}(\sqrt{\frac{a}{g}}v_0)\) ist dann gar nicht definiert. Für \(v_0<0\) ist Deine Formel \((5)\) für \(0\leq t\leq t_0\) die richtige Lösung, wobei \(t_0\) dadurch bestimmt ist, dass \(v(t_0)=0\) ist, also \(t_0=\frac{-\arctan(\sqrt{\frac{a}{g}}v_0)}{\sqrt{ga}}\) und für \(t\geq t_0\) ist die Lösung dann durch Deine Formel \((3)\) gegeben, wobei Du \(t\) durch \(t-t_0\) ersetzt und \(v_0\) durch \(0\).

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