| |
| Autor |
 Wenn A, A´ affine Unterräume, dann auch A+A´ und A∩A´ |
|
hanna01
Aktiv 
Dabei seit: 17.11.2022
Mitteilungen: 30
 |  Themenstart: 2022-12-04
|
Ich möchte beweisen:
Wenn \(A, A\prime \subset V\) affine Unterräume, dann sind \(A+ A\prime = \{ a + a\prime; a \in A, a\prime \in A\prime \}\) und \(A \cap A\prime\) auch affine Unterräume von V.
Zur ersten Behauptung: Da A und A´ affin, sind sie jeweils entweder leer oder es gibt ein \(a_1 \in V\) und einen linearen Unterraum \(U \subset V\), sodass\(A = a_1 + U_1\) und analog für \(A´ = a_2 + U_2) \).
Wenn einer der beiden leer, dann reduziert sich die Summe auf den anderen Raum bzw auf die leere Menge, wenn beide leer sind und das sind nach Definition ja alles affine Räume.
Für A+A´ hat man dann \(A + A\prime = a_1 + U_1 + a_2 + U_2 = a_1 + a_2 + U_1 + U_2 \).
Also kann man \(a = a_1 + a_2\)(das in V sein muss, da beide Summanden in V sind) setzen und \(U = U_1 + U_2 \) (U ist Unterraum von V, weil alle Elemente aus \(U_1, U_2 \in V\) und V abgeschlossen unter Addition) und kann somit jedes Element aus A+A´ darstellen.
Bei der zweiten Behauptung habe ich aber Probleme, entsprechende a und U zu finden. Damit ein \(a+u\) in \(A \cap A´\) sein kann, muss es in A und A´ sein. Dementsprechend (wenn wir die Definitionen wie oben nutzen), kann a+u sowohl als \(a_1 + u_1, u_1 \in U_1\), wie auch als \(a_2 + u_2, u_2 \in U_2\) dargestellt werden. Also muss das u aus \(U_1\) oder \(U_2\) kommen und \(U = U_1 \cup U_2 \). Aber dann kann man kein a finden, sodass für alle \(u \in U = U_1 \cup U_2 \) gilt, dass \(a+u \in A \cap A´\), denn wenn \(a_1 \neq a_2\), dann landet z.B. \(a_1 + u_2\) ja nicht in \(A \cap A´\).
Also ist die Wahl von \(U = U_1 \cap U_2\) vermutlich falsch. Aber ich habe leider gar keine Idee, was man sonst nehmen könnte, denn alle anderen Mengenoperatoren ergeben überhaupt keinen Sinn.
|
 Profil
|
darkhelmet
Senior 
Dabei seit: 05.03.2007
Mitteilungen: 2679
Wohnort: Bayern
| Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-04
|
\quoteon(2022-12-04 15:54 - hanna01 im Themenstart)
Wenn einer der beiden leer, dann reduziert sich die Summe auf den anderen Raum bzw auf die leere Menge
\quoteoff
Nein, es ist immer die leere Menge.
\quoteon(2022-12-04 15:54 - hanna01 im Themenstart)
Also ist die Wahl von \(U = U_1 \cap U_2\) vermutlich falsch.
\quoteoff
Davor hast du $U=U_1\cup U_2$ geschrieben, und das ist wirklich falsch, es ist ja i.A. nicht mal ein Untervektorraum. $U=U_1\cap U_2$ ist richtig, die Frage ist, wie man darauf kommt, und wie man es beweist.
Hilfreich ist zunächst, dass die Gleichung $A=a+U$ entweder für alle $a\in A$ gilt oder gar nicht (kannst du dir selbst beweisen).
Das heißt, du kannst $a_1$ und $a_2$ beliebig wählen, und weil du schon weißt, dass $A\cap A'$ nicht leer ist, kannst du einfach $a\in A\cap A'$ wählen und $a_1=a_2=a$ wählen. Also bleibt zu zeigen
\[
(a+U_1)\cap(a+U_2)=a+(U_1\cap U_2),
\]
was einfach ist.
|
Profil
|
| hanna01 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. | | hanna01 wird per Mail über neue Antworten informiert. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
